各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆Word文档下载推荐.docx

各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆Word文档下载推荐.docx

《各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆Word文档下载推荐.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（1）+

（2）,得

　　AC（BE+ED）=AB·

CD+AD·

BC

　　又因为BE+ED≥BD

　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

　　所以命题得证

　　复数证明

　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：

（a-b）、（c-d）、（a-d）、（b-c）、（a-c）、（b-d）。

首先注意到复数恒等式：

（a−b）（c−d）+（a−d）（b−c）=（a−c）（b−d），两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

　　二、设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK=∠CBD；

因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。

因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD~△KBC。

因此AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；

因此AK·

BD=AB·

CD，且CK·

BD=BC·

DA；

两式相加，得（AK+CK）·

CD+BC·

但AK+CK=AC，因此AC·

DA。

证毕。

　　三、

　　托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）．已知：

圆内接四边形ABCD，求证：

AC·

BD＝AB·

CD＋AD·

BC．

　　证明：

如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：

BC=AD：

BP，AC·

BP=AD·

BC①。

又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：

CD=AB：

DP，AC·

DP=AB·

CD②。

①＋②得AC（BP＋DP）=AB·

BC．即AC·

BD=AB·

推论

　　1.任意凸四边形ABCD，必有AC·

BD≤AB·

BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：

一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、

推广

　　托勒密不等式：

四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

　　简单的证明：

复数恒等式：

（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），两边取模，

　　得不等式AC·

BD≤|（a-b）（c-d）|+|（b-c）（a-d）|=AB·

CD+BC·

AD

　　注意：

　　1.等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

　　2.四点不限于同一平面。

　　欧拉定理：

在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·

BC+AB·

CD=AC·

BD

塞瓦定理

简介

塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。

具体内容

　　塞瓦定理

　　在△ABC内任取一点O，

　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1

　　证法简介

　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

　　∵△ADC被直线BOE所截，

　　∴（CB/BD）*（DO/OA）*（AE/EC）=1①

　　而由△ABD被直线COF所截，∴（BC/CD）*（DO/OA）*（AF/FB）=1②

　　②÷

①:

即得：

（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1

　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=（S△ABD-S△BOD）/（S△ACD-S△COD）=S△AOB/S△AOC③

　　同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

　　③×

④×

⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

　　根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:

DB）*（BE:

EC）*（CF:

FA）=[（CD*ctgA）/[（CD*ctgB）]*[（AE*ctgB）/（AE*ctgC）]*[（BF*ctgC）/[（BF*ctgA）]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

　　可用塞瓦定理证明的其他定理;

　　三角形三条中线交于一点（重心）:

如图5D,E分别为BC,AC中点所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1

　　且因为AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三条中线交于一点

　　此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：

　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。

（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）

塞瓦定理推论

　　1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=1

　　因为（BC/CD）*（DG/GA）*（AF/FB）=1，（塞瓦定理）所以（BD/CD）*（CE/AE）*（AF/FB）=K（K为未知参数）且（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：

（BD/CD）*（CE/AE）*（AF/FB）=1

　　所以（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=1

　　2.塞瓦定理角元形式

　　AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：

　　（sin∠BAD/sin∠DAC）*（sin∠ACF/sin∠FCB）*（sin∠CBE/sin∠EBA）=1

　　由正弦定理及三角形面积公式易证

　　3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：

　　（AB/BC）*（CD/DE）*（EF/FA）=1

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

　　4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:

FA）=[（CD*ctgA）/[（CD*ctgB）]*[（AE*ctgB）/（AE*ctgC）]*[（BF*ctgC）/[（AE*ctgB）]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理证明

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：

如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×

（BD/DC）×

（CE/EA）=1。

或：

设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA）=

证明一：

　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

　　则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。

　　三式相乘得：

（AF/FB）×

（CE/EA）=（AG/BD）×

（DC/AG）=1

证明二：

　　过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

　　所以有AF/FB×

BD/DC×

CE/EA=AF/FB×

FB/PF×

PF/AF=1

　　它的逆定理也成立：

若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×

（CE/EA）=1，则F、D、E三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

梅涅劳斯（Menelaus）定理

证明三：

　　过ABC三点向三边引垂线AA'

BB'

CC'

，

　　所以AD：

DB=AA'

：

，BE：

EC=BB'

，CF：

FA=CC'

AA'

　　所以（AF/FB）×

（CE/EA）=1

证明四：

　　连接BF。

　　（AD：

DB）·

（BE：

EC）·

（CF:

FA）

　　=（S△ADF：

S△BDF）·

（S△BEF：

S△CEF）·

（S△BCF：

S△BAF）

（S△BDF：

S△CDF）·

（S△CDF：

S△ADF）

　　=1

　　此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：

于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。

　　第一角元形式的梅涅劳斯定理

如图：

若E，F，D三点共线，则

　　（sin∠ACF/sin∠FCB）（sin∠BAD/sin∠DAC）（sin∠CBA/sin∠ABE）=1

　　即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积

　　该形式的梅涅劳斯定理也很实用

　　第二角元形式的梅涅劳斯定理

　　在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB）（sin∠BOD/sin∠DOC）（sin∠COA/sin∠AOE）=1。

（O不与点A、B、C重合）

记忆

　　ABC为三个顶点，DEF为三个分点

　　（AF/FB）×

　　（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1

　　空间感好的人可以这么记：

（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1

实际应用

　　为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。

我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。

我们换乘汽车沿公路去每