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(1)+

(2),得

  AC(BE+ED)=AB·

CD+AD·

BC

  又因为BE+ED≥BD

  (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)

  所以命题得证

  复数证明

  用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:

(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式:

(a−b)(c−d)+(a−d)(b−c)=(a−c)(b−d),两边取模,运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

  二、设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上,圆周角∠BAC=∠BDC,而在AB上,∠ADB=∠ACB。

在AC上取一点K,使得∠ABK=∠CBD;

因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD,所以∠CBK=∠ABD。

因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD~△KBC。

因此AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD;

因此AK·

BD=AB·

CD,且CK·

BD=BC·

DA;

两式相加,得(AK+CK)·

CD+BC·

但AK+CK=AC,因此AC·

DA。

证毕。

  三、

  托勒密定理:

圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知:

圆内接四边形ABCD,求证:

AC·

BD=AB·

CD+AD·

BC.

  证明:

如图1,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得AC:

BC=AD:

BP,AC·

BP=AD·

BC①。

又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得AC:

CD=AB:

DP,AC·

DP=AB·

CD②。

①+②得AC(BP+DP)=AB·

BC.即AC·

BD=AB·

推论

  1.任意凸四边形ABCD,必有AC·

BD≤AB·

BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

  2.托勒密定理的逆定理同样成立:

一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、

推广

  托勒密不等式:

四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。

  简单的证明:

复数恒等式:

(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,

  得不等式AC·

BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·

CD+BC·

AD

  注意:

  1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。

  2.四点不限于同一平面。

  欧拉定理:

在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·

BC+AB·

CD=AC·

BD

 

塞瓦定理

简介

塞瓦(GiovanniCeva,1648~1734)意大利水利工程师,数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。

具体内容

  塞瓦定理

  在△ABC内任取一点O,

  直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

  证法简介

  (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明:

  ∵△ADC被直线BOE所截,

  ∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①

  而由△ABD被直线COF所截,∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

  ②÷

①:

即得:

(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

  (Ⅱ)也可以利用面积关系证明

  ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③

  同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

  ③×

④×

⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

  利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

  设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

  根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:

DB)*(BE:

EC)*(CF:

FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

  可用塞瓦定理证明的其他定理;

  三角形三条中线交于一点(重心):

如图5D,E分别为BC,AC中点所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1

  且因为AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三条中线交于一点

  此外,可用定比分点来定义塞瓦定理:

  在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。

(注意与梅涅劳斯定理相区分,那里是λμν=-1)

塞瓦定理推论

  1.设E是△ABD内任意一点,AE、BE、DE分别交对边于C、G、F,则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

  因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1,(塞瓦定理)所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得:

(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1

  所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

  2.塞瓦定理角元形式

  AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是:

  (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

  由正弦定理及三角形面积公式易证

  3.如图,对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F,直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是:

  (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

  4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:

FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理证明

梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出:

如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×

(BD/DC)×

(CE/EA)=1。

或:

设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=

证明一:

  过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

  则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。

  三式相乘得:

(AF/FB)×

(CE/EA)=(AG/BD)×

(DC/AG)=1

证明二:

  过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF

  所以有AF/FB×

BD/DC×

CE/EA=AF/FB×

FB/PF×

PF/AF=1

  它的逆定理也成立:

若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×

(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。

利用这个逆定理,可以判断三点共线。

梅涅劳斯(Menelaus)定理

证明三:

  过ABC三点向三边引垂线AA'

BB'

CC'

  所以AD:

DB=AA'

,BE:

EC=BB'

,CF:

FA=CC'

AA'

  所以(AF/FB)×

(CE/EA)=1

证明四:

  连接BF。

  (AD:

DB)·

(BE:

EC)·

(CF:

FA)

  =(S△ADF:

S△BDF)·

(S△BEF:

S△CEF)·

(S△BCF:

S△BAF)

(S△BDF:

S△CDF)·

(S△CDF:

S△ADF)

  =1

  此外,用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆:

于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。

 

  第一角元形式的梅涅劳斯定理

如图:

若E,F,D三点共线,则

  (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1

  即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积

  该形式的梅涅劳斯定理也很实用

  第二角元形式的梅涅劳斯定理

  在平面上任取一点O,且EDF共线,则(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。

(O不与点A、B、C重合)

记忆

  ABC为三个顶点,DEF为三个分点

  (AF/FB)×

  (顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)=1

  空间感好的人可以这么记:

(上1/下1)*(整/右)*(下2/上2)=1

实际应用

  为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点,各景点之间有公路相连。

我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个景点降落。

我们换乘汽车沿公路去每

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