国赛建模b题论文Word格式文档下载.docx

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摘要

本文研究了某公司设计生产的一种创意折叠椅，通过建立坐标系将其由物理模型变成数学模型，进而对其进行建模分析，并解决了折叠桌的加工参数优化设计和动态变化过程的数学描述两个问题，并进一步根据题目要求对折叠桌进行了改进设计。

对于问题一，首先为了便于分析对其建立空间直角坐标系，将物理模型转化为数学模型；

根据题目给定的板材规格、木条宽度、钢筋固定点在桌脚最外侧的位置和折叠后桌子的高度等数据和折叠桌各部分之间存在的几何关系，确定动态变化过程中折叠桌桌面边缘各点、钢筋轴与各个桌角木条槽线的交点以及桌脚边缘点的位置折叠桌木条开槽的长度、位置等设计加工参数，并结合MATLAB软件编程进行作图模拟动态变化过程，对变化过程中的桌脚边缘点的坐标与变化角度参数的研究，得到桌角边缘线的数学描述。

对于问题二，研究给定折叠桌高和桌面直径时，确定最优加工参数。

考虑该问为最优化问题，又由于分析过程中发现目标函数和约束条件中存在非线性因素，所以采用非线性规划解决该问。

通过对节省材料和加工方便的分析，确定长方形板的长度和开槽总长度之和为目标函数，求解最小值；

通过对钢筋点进行受力分析，确定约束条件。

最终建立非线性规划模型，求出满足题目要求条件下的板长为150.72cm、桌脚最外侧木条上钢筋的固定位置距离木条固定点33.16cm、桌面最边缘木条长度为8.10cm，开槽位置及长度等最优设计加工参数。

对于问题三，为满足客户的个性化要求，激发我们创意，得出该公司多种造型折叠桌的设计软件中，以圆形、椭圆形、正八边形三种桌面为例，通过给定桌高、桌面直径等参数，在第二问优化模型的基础上，建立圆、椭圆、正八边形三种桌面对应的设计优化模型，并求解出设计参数，再在MATLAB软件的辅助下模拟动态变化，并作出动态变化示意图。

本文建模方法科学有效，模型的建立准确描述折叠桌动态变化状态，在满足客户个性化要求的条件下，做到了设计产品稳固性好、加工方便、用料节约等条件，同时为创意设计软件开发奠定了基础，比较具有现实意义。

关键词：

加工参数设计曲线拟合非线性规划

一、问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-1所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

建立数学模型讨论下列问题：

1.给定长方形平板尺寸为120cm×

50cm×

3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。

试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、模型假设

1.假设对木板切割过程为理想化过程，在切割处不会对板材尺寸产生影响；

2.假设设计圆形桌面的每根木条上离桌面圆心最远的棱线到桌面圆心的距离为半径；

3.将所有木条简化为以各木条棱角x坐标值为x坐标的直线；

4.假设在建模过程中，将木条简化成直线，忽略厚度的影响

三、符号说明

序号

符号

符号说明

1

a

长方形板材长度的一半

2

b

长方形板材宽度的一半

3

h

折叠桌的高度

4

R

折叠桌桌面半径

5

w

木条宽度

6

n

长方形板材切割木条的条数

7

m

桌面最边缘木条长度的一半

8

各个桌脚木条

9

各个桌脚木条的长度

10

各个桌脚木条固定点到桌面x轴中轴线的长度

11

各个桌脚木条固定点

12

各个桌脚木条动端点

13

钢筋轴线与桌脚木条的交点

14

各个桌脚木条旋转角度

15

各个桌脚木条与桌面形成的夹角

16

各个桌脚木条所在直线在yoz坐标面上的斜率

17

各个点在空间坐标系的横坐标

18

各个点在空间坐标系的纵坐标

19

各个点在空间坐标系的竖坐标

四、问题分析

4.1问题一的分析

问题一要求我们在给定的长方形平板尺寸、木条宽度、钢筋固定位置以及折叠后桌子的高度等条件下，建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数。

首先，根据题意可知在折叠过程中构成折叠桌的每个木条的运动情况有所差异，于是我们先从折叠桌动态变化过程中各个木条的几何关系入手，建立相应的坐标系辅助分析，得到桌面边缘点的曲线方程。

然后利用坐标值表示出不同时刻下折叠桌桌面边缘各点、钢筋轴与各个桌脚木条槽线的交点以及桌脚边缘点等重要点的位置，确定桌角木条开槽的位置和长度。

流程图如下：

在求解开槽长度时，先写出边缘木条上钢筋固定点的坐标，其余桌脚钢筋槽起点位置y坐标与固定点相同，计算出距固定点的长度，在计算出桌脚摆过最大角度时钢筋点距离固定点的长度，作差即可求出对应开槽长度。

4.2问题二的分析

问题二中题目要求在给定的桌高和桌面直径的要求下，给出最优设计加工参数，为最优化问题，考虑采用规划模型。

建模过程中发现目标函数和约束条件中存在非线性方程，所以为非线性规划。

通过对钢筋点作受力分析知道当最长木条和最短木条在稳定位置时所形成的三角形为等腰三角形时最为稳定，另外作了节省材料和加工方便的分析，保证长方形板和开槽长度尽量短，从而确定了目标函数。

“保证开槽的长度要大于0”，“保证滑槽的终止位置不能超过长方形板边缘”，“木条的动端点的z坐标要小于木条的动端点的z坐标”，“最终位置时，钢筋点的横坐标要小于最短木条的固定端点的横坐标”的约束条件。

4.3问题三的分析

问题三中该公司要开发一种设计软件，由客户设定折叠桌高度、桌面边缘线形状和桌角边缘线的形状，得出折叠桌的最优设计加工参数。

为解决该问题，以圆形、椭圆形、正八边形三种桌面为例，通过给定一些参数，如桌高、桌面直径等，在第二问优化模型的基础上，可以建立圆、椭圆、正八边形三种桌面对应的设计优化模型，并求解出设计参数，再在MATLAB软件的辅助下作出动态变化示意图。

五、模型建立与求解

5.1圆形折叠桌的设计加工参数求解与边缘线动态变化的描述模型——问题一的模型建立与求解

5.1.1模型准备

如图5.1-1所示，长方形板的长度2a=120cm，宽度2b=50cm；

由于切割木条宽w=2.5cm，故板材可以截取木条的根数n=20。

考虑到长方形木板和之后的设计都呈轴对称，故在求解过程中以板材的1/4为研究对象。

图5.1-1折叠桌设计示意图

选取折叠桌边缘木条远离圆心的棱线到圆心的距离为桌面半径R，所以桌面半径R略大于长方形板宽度的一半，即略大于25cm。

因为考虑到小木条折断的长度不同会影响桌面形状的好坏，而最边缘小木条长度越短，则桌面形状越趋近于圆形，所以结合题目所给图像，假设边缘木块长度2m为木条宽的2.4倍，即6cm。

利用勾股定理：

（1）

可以求出桌面圆形的半径。

将1/4平面内的10根桌脚木条依次从外向内进行编号，即根据公式：

（2）

代入半径R，可求得10根桌脚木条的长度如下所示，

表5.1-11/4平面内各个木条长度规格

木条编号

长度（cm）

1号木条

57.0000

6号木条

38.1425

2号木条

48.6972

7号木条

36.8915

3号木条

44.7029

8号木条

35.9635

4号木条

41.8961

9号木条

35.3220

5号木条

39.7762

10号木条

34.9450

5.1.2.建立坐标系

为方便题目求解，如下图5.1-2所示，以桌面所在平面为XOY面建立三维坐标系。

图5.1-2

每一根木条都在对应的YOZ平面内作二维变化，故将问题简化为木条投影在平面YOZ上的二维问题。

先分析最边缘的小木条的动态变化情况，在二维坐标系内对其进行的分析研究。

设折叠桌最外侧木条左端固定的端点为，则点坐标为（3,0），根据上文假设，木条的长度为

，

解得。

又桌高h=53cm，所以可以求得最外侧木条所转过的最大角度，

进而求得。

对进行四等分，相当于选取四个时间节点，即，，，。

5.1.3模型求解

1.桌面边缘点曲线的数学描述

利用勾股定理可知第i根木条切割点的到桌面x轴方向中轴线的距离

，（3）

图5.1-3

如图5.1-3所示，由余弦定理可知，第i根木条与钢筋轴线的交点距该桌脚木条固定点的长度为：

（4）

根据正弦定理，得：

，（5）

由公式（3）（4）（5）联立推导，可得：

（6）

此时，便可以求出第i根桌脚木条的动端点位于任意一点时的坐标（x，

Y，z），其中：

（7）

其中取值见公式（6），此即为桌脚边缘线的数学描述。

*为了使描述更加直观，我们选取了