正弦和余弦1文档格式.docx

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　　∽∽∽……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.

　　这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正弦的说法,创造了sin和cos这样的符号.

　　应当注重:

单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;

另一方面,这些符号和角写在一起时,它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了.真正理解并把握这些,才真正把握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.

　　我们应当学会熟悉任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.

　　我们不仅应当熟练把握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如,如图所示,若,则有

　　有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,ABcD是梯形,,作,我们应正确地写出如下的三角函数关系式:

　　很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.

　　非凡角的正弦、余弦值既轻易导出,也便于记忆,应当熟悉把握它们.

　　利用勾股定理,很轻易求出含有或角的直角三角形三边的比;

如图和图所示.

　　根据定义,有

　　另一方面,可以想像,当时,边与Ac重合,所以

　　当时,边AB与cB重合,Ac的长缩小为0,于是,有

　　把以上结果可以集中列出下面的表:

　　01

　　0

　　教法建议:

　　联系实际,提出问题

　　通过修建扬水站时,要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题,步把这问题归结于直角三角形中,第二步,再把这个问题归于直角三角形中,已知一个锐角和斜边的长,求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下,用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习爱好,调动学生探索新途径,迫切需要学习新知识的积极性.在这章的节课,应抓住这个具有教育性,富于启发性的有利开端,为引进本章的重要内容:

锐角三角函数作了十分必要的预备.

　　动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量,并引导学生得出规律:

再进一步对含的三角板进行度量,在探索同样的内容时,要用到勾股定理,又类似地得到,所有的这种等腰直角三角形中,都会得到,这时,应当即给出的正弦的定义及符号,即,再对照图形,分别用a、b、c表示、、的对边,得出及,就这样非常简洁地得到锐角三角函数的个定义,应充分利用课本中这种简练的处理手段,使学生建立起锐角三角函数的概念.

　　加强数形结合思想的教学

　　“解直角三角形”编在几何教材中,突出了它的几何特点,但这只是从知识的系统性方面讲的,使它与几何前后知识可关系更紧密,便于学生理解和把握,并没有改变它形数结合的本质,因此教学中要充分利用这部分教材,帮助学生把握用代数方法解决几何问题的方法,提高在几何问题中注重运用代数知识的能力.

　　课时

　　一、教学目标

　　使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。

　　逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。

　　引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

　　二、学法引导

　　教学方法:

引导发现和探索研究相结合,尝试成功教法。

　　学生学法:

在教师的指导下,积极思维,相互讨论,动手感知,探索新知。

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　重点:

使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。

　　难点:

学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论。

　　疑点:

无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。

　　解决办法:

教师引导学生比较、分析、讨论,解决重难点和疑点。

　　四、教具预备

　　自制投影片,一副三角板

　　五、教学步骤

　　明确目标

　　如图,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则、间距离为多少米?

　　长5米的梯子以倾斜角为30°

靠在墙上,则、间的距离为多少?

　　若长5米的梯子以倾斜角40°

架在墙上,则、间距离为多少?

　　若长5米的梯子靠在墙上,使、间距离为2米,则倾斜角为多少度?

　　前两个问题学生很轻易回答,这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识,但后两个问题的设计却使学生感到迷惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习爱好的作用,同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°

角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。

　　通过四个例子引出课题。

　　整体感知

　　请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°

角的对边、邻边与斜边的比值。

　　学生很快便会回答结果:

无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值,程度较好的学生还会想到,以后在这些非凡直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长。

　　请同学画一个含40°

角的直角三角形,并测量、计算40°

角的对边、邻边与斜边的比值,学生又兴奋地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的,大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?

　　这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知。

　　教学过程

　　通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”,但是怎样证实这个命题呢?

学生这时的思维很活跃,对于这个问题,部分学生可能能解决它,因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成。

　　学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:

　　若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其顶点,,重合在一起,记作,并使直角边,,……落在同一条直线上,则斜边,,……落在另一条直线上,这样同学们能解决这个问题吗?

引导学生独立证实:

易知,……,∴∽∽∽……,∴,,因此,在这些直角三角形中,的对边、邻边与斜边的比值,是一个固定值。

　　通过引导,使学生自己独立把握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透。

　　而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计。

这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。

　　练习:

教科书P3练习。

此题为作了孕伏,同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。

　　总结、扩展

　　引导学生作知识总结:

本节课在复习勾股定理及含30°

角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证实,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。

　　教师可适当补充:

本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测和积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识。

　　扩展:

当锐角为30°

时,它的对边与斜边比值我们知道,今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的,假如知道这个比值,已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了,看来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“比值”,有爱好的同学可以提前预习一下,通过这种扩展,不仅对下、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的爱好。

　　六、布置作业

　　本节课内容较少,而且是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念。

　　七、板书设计

　　第二课时

　　使学生初步了解正弦、余弦概念;

能够较正确地用、表示直角三角形中两边的比;

熟记非凡角30°

角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.

　　逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.

　　渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.

指导发现探索法.

自主、合作、探究式学习.

　　三、重点、难点、疑点及解决方法

　　教学重点:

使学生了解正弦、余弦概念.

　　教学难点:

用含有几个字母的符号组、表示正弦、余弦;

正弦、余弦概念.

锐角的正弦、余弦值的范围.

通过旧知创设情境,采用从非凡到一般的方法,引导学生进行探究式学习,从而解决重难点及疑点.

　　三角板一副

　　引导学生回忆“直角三角形锐角固定时,它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”

　　明确目标:

这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—.

　　当直角三角形有一锐角为30°

时,它的对边与斜边的比值为,只要知道三角形任一边长,其他两边就可知.

　　而上节课我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定,这样只要能求出这个比值,那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.

　　通过与“30°

角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习爱好,同时对以下要研究的内容有了大体印象.

　　正弦、余弦的要领是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也是难点.

　　在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图

　　请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力,教师板书:

在中,为直角,我们把锐角的对边与余边的比叫做的正弦,记作,锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦,记作.

　　若把的对边记作,邻边记作,斜边记作,则,.

　　引导学生思考:

当为锐角时,、的值会在什么范围内?

得结论,,这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.

　　教材例1的设置是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,这里不妨增问“、”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.

　　例1求出如下图所示的中的、和、的值.

　　解:

∵斜边,

　　∴,.

　　,.

　　,

　　学生练习教材P6~7中1、2、3题.

　　让每个学生画含30°

的直角三角形,分别求、、和、、.这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学