人教A版数学必修2 第2章 233 直线与平面垂直的性质 234 平面与平面垂直的性质Word文件下载.docx
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【解析】 由线面垂直的定义和性质可知
(1)、
(2)、(3)均正确.
【答案】
(1)√
(2)√ (3)√
教材整理2 平面与平面垂直的性质定理
阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容,完成下列问题.
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
⇒a⊥β
在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直D.相交且垂直
D [在长方体ABCDA1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF⊂面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1,答案D正确.]
[小组合作型]
线面垂直性质定理的应用
如图2331所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
图2331
求证:
(1)MN∥AD1;
(2)M是AB的中点.
【精彩点拨】
(1)要证线线平行,则先证线面垂直,即证AD1⊥平面A1DC.
(2)可证ON=AM,ON=
AB.
【自主解答】
(1)∵ADD1A1为正方形,
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1.
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.
(2)连接ON,在△A1DC中,
A1O=OD,A1N=NC.
∴ON綊
DC綊
AB,∴ON∥AM.
又∵MN∥OA,
∴四边形AMNO为平行四边形,∴ON=AM.
∵ON=
AB,∴AM=
AB,∴M是AB的中点.
1.直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地运用它们.
2.当题中垂直条件很多,但又需证平行关系时,就要考虑垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
[再练一题]
1.如图2332,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:
a∥l.
图2332
【证明】 因为EA⊥α,α∩β=l,即l⊂α,所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a,
又a⊥AB,EB∩AB=B,
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理,得a∥l.
面面垂直性质定理的应用
如图2333所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB=60°
,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
图2333
(1)若G为AD的中点,求证:
BG⊥平面PAD;
(2)求证:
AD⊥PB.
【精彩点拨】
(1)
―→
(2)要证AD⊥PB,只需证AD⊥平面PBG即可.
【自主解答】
(1)如图,在菱形ABCD中,连接BD,由已知∠DAB=60°
,
∴△ABD为正三角形,
∵G是AD的中点,
∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)如图,连接PG.
∵△PAD是正三角形,G是AD的中点,
∴PG⊥AD,由
(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG=G.
∴AD⊥平面PBG.
而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.
1.证明或判定线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理;
(2)面面垂直的性质定理;
(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a、b为直线,α为平面);
(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
2.如图2334,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:
平面VBC⊥平面VAC.
图2334
【证明】 ∵平面VAB⊥底面ABCD,且BC⊥AB.
∴BC⊥平面VAB,∴BC⊥VA,
又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA,又VB∩BC=B,
∴VA⊥平面VBC,
∵VA⊂平面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
[探究共研型]
垂直关系的综合应用
探究1 如图2335,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=
,等边△ADB以AB为轴转动.当平面ADB⊥平面ABC时,能否求CD的长度?
图2335
【提示】 取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE,由已知可得DE=
,EC=1,在Rt△DEC中,CD=
=2.
探究2 在上述问题中,当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?
证明你的结论.
【提示】 ①当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,
所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时,由探究1知AB⊥DE.
又因AC=BC,所以AB⊥CE.又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.综上所述,总有AB⊥CD.
探究3 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.
【提示】 垂直问题转化关系如下所示:
如图2336,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
图2336
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【精彩点拨】
(1)利用性质定理可得PA⊥底面ABCD;
(2)可证BE∥AD,从而得BE∥平面PAD;
(3)利用面面垂直的判定定理.
【自主解答】
(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由
(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
又AD∩PA=A,
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E,
所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD,
所以平面BEF⊥平面PCD.
1.证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.
2.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直;
(2)直线必须在其中一个平面内;
(3)直线必须垂直于它们的交线.
3.如图2337,在三棱锥PABC中,E,F分别为AC,BC的中点.
(1)求证:
EF∥平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°
.
平面PEF⊥平面PBC.
图2337
【证明】
(1)∵E,F分别为AC,BC的中点,∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA=PC,E为AC的中点,
∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC,
∴PE⊥平面ABC,∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点,∴EF∥AB.
∵∠ABC=90°
,∴BC⊥EF.
∵EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF.
又∵BC⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PEF.
1.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】 如果平面α⊥平面β,那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β,其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直,故D项叙述是错误的.
【答案】 D
2.已知长方体ABCDA1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则( )
A.ME⊥平面AC
B.ME⊂平面AC
C.ME∥平面AC
D.以上都有可能
【解析】 由于ME⊂平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则ME⊥平面AC.
【答案】 A
3.如图2338,▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=________.
图2338
【解析】 因为AF⊥平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD,所以△EDC为直角三角形,CE=
=
【答案】
4.如图2339,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°
,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是________.
图2339
【解析】 过A作AO⊥BD于O点,
∵平面ABD⊥平面BCD,
∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.
∵∠BAD=90°
,AB=AD.
∴∠ADO=45°
【答案】 45°
5.如图2340,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD.求证:
AD⊥平面PCD.
图2340
【证明】 在矩形ABCD中,AD⊥CD,因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面PCD.