（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）
3：
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：
互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
六、随堂练习
1．在中，，、、的对边分别为、和
⑴若，，则=；斜边上的高为.
⑵若，，则=.斜边上的高为.
⑶若，且，则=，.斜边上的高为.
⑷若，且，则=，.斜边上的高为.
2．正方形的边长为3，则此正方形的对角线的长为.
3．正方形的对角线的长为4，则此正方形的边长为.
4．有一个边长为50的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长
5．一旗杆离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，求旗杆折断之前有多高？
6.如图，一个长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移吗？
勾股定理典型例题及专项训练
专题一：
直接考查勾股定理
1．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
2、已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
3：
在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为多少？
4：
已知如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。
求证：
（1）
（2）
（3）以为三边的三角形是直角三角形练习
6.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45º，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD=1，则BD等于（ ）
A．1 B． C． D．
7.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
8.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
6.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．
8.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,
（1）AD平分∠BAC,交BC于D点。
求CD长
（2）BE平分∠ABC,交AC于E，求CE长
专题二勾股定理的证明
1、如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
（Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）55
2、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF都是正方形.证：
△ABF≌△DAE
3、图①是一个边长为的正方形，小颖将
图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②
能验证的式子是（）
A．B．
C．D．
专题三网格中的勾股定理
1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF
2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）
A．0B．1C．2D．3
3、（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形
的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（）
A.B.C.D.
5、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角形是直角三角形吗?
说明理由．
6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）
专题四实际应用建模测长
1、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？
请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
专题五梯子问题
1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
3、如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）
A.B.C.D.不能确定
专题六最短路线
1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A、6B、5C、4D、3
2、如图，一圆柱体的底面周长为20㎝，高AB为10㎝，BC是上底面的直径。
一蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。
3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20㎝，高AB为10㎝，在圆柱的下底面A点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C点处，那么它所行走的路程是多少？
4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯，AD是杯底直径，C是杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点A处爬到杯子的内壁到达高CD的中点E处，最短该走多远呢？
（杯子的厚度不计）
5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1米，且封闭的正方体盒子外部的顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？
6、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
7、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
.
专题七折叠三角形
1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
3、如图,△ABC的三边BC=3，AC=4、AB=5,把△ABC沿最长边AB翻折后得到
△ABC′，则CC′的长等于（）
A.B.C.D.
专题八折叠四边形
1、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求
（1）CF的长
（2）EC的长.
2、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为
EF，求
（1）DE的长；
（2）EF的长。
3.矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.
4、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
5、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，且DE=6，求正方形ABCD的面积
6、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。
专题九旋转问题：
1、如图，P是等边三角
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