数学必修一-函数的零点教案.doc

上传人:b****9 文档编号:157530 上传时间:2022-10-04 格式:DOC 页数:7 大小:649.12KB
下载 相关 举报
数学必修一-函数的零点教案.doc_第1页
第1页 / 共7页
数学必修一-函数的零点教案.doc_第2页
第2页 / 共7页
数学必修一-函数的零点教案.doc_第3页
第3页 / 共7页
数学必修一-函数的零点教案.doc_第4页
第4页 / 共7页
数学必修一-函数的零点教案.doc_第5页
第5页 / 共7页
点击查看更多>>
下载资源
资源描述

数学必修一-函数的零点教案.doc

《数学必修一-函数的零点教案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学必修一-函数的零点教案.doc(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。

数学必修一-函数的零点教案.doc

4.1.1方程的根与函数的零点

学习目标

1.理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定条件.

2.通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点,找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法.

学习重点、难点

重点:

零点的概念及存在性的判定.

难点:

零点的确定.

学习过程

(一)课题

1、提出问题:

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:

①方程与函数

②方程与函数

③方程与函数

(二)研讨新知

函数零点的概念:

对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.

函数零点的意义:

函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.

即:

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

函数零点的求法:

求函数的零点:

①(代数法)求方程的实数根;

②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

1.根据函数零点的意义,其求法有:

①代数法;

 ②几何法.

2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结论.

二次函数的零点:

二次函数

     .

(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.

(2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.

3.零点存在性的探索:

(Ⅰ)观察二次函数的图象:

①在区间上有零点______;

_______,_______,·_____0(<或>=).

②在区间上有零点______;·____0(<或>=).

(Ⅱ)观察下面函数的图象

①在区间上______(有/无)零点;·_____0(<或>=).

②在区间上______(有/无)零点;·_____0(<或>=).

③在区间上______(有/无)零点;·_____0(<或>=).

(三)、巩固深化,发展思维

1.例题

例1.求函数f(x)=的零点个数。

问题:

(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?

(2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性?

例2.求函数,并画出它的大致图象.

2.P88页练习第二题的

(1)、

(2)小题

(四)、作业

P88页练习第二题的(3)、(4)小题。

4.1.2用二分法求方程的近似解

(1)

学习目标

理解二分法求解方程的近似解的思想方法,会用二分法求解具体方程的近似解;体会程序化解决问题的思想,为算法的学习作准备。

学习重点、难点

重点:

用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

难点:

为何由︱a-b︳<便可判断零点的近似值为a(或b)?

学习设想

(一)、创设情景

提出问题:

(1)一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求解放程㏑x+2x-6=0的根;联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求她的根呢?

(2)通过前面一节课的学习,函数f(x)=㏑x+2x-6在区间内有零点;进一步的问题是,如何找到这个零点呢?

(二)、新知

一个直观的想法是:

如果能够将零点所在的范围尽量的缩小,那么在一定的精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值;为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084,因为f(2.5)*f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内;

再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)<0,所以零点在(2.5,2.75)内;

由于(2,3),(2.5,3),(2.5,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实越来越小了;重复上述步骤,那么零点所在范围会越来越小,这样在有限次重复相同的步骤后,在一定的精确度下,将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值,特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。

例如,当精确度为0.01时,由于∣2.5390625-2.53125∣=0.0078125<0.01,所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x+2x-6零点的近似值,即方程㏑x+2x-6=0近似值。

这种求零点近似值的方法叫做二分法。

1.认真理解二分法的函数思想,根据课本上二分法的一般步骤,探索求法。

2.为什么由︱a-b︳<便可判断零点的近似值为a(或b)?

说明:

设函数零点为x0,则a<x0<b,则:

0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0;

由于︱a-b︳<,所以

︱x0-a︳<b-a<,︱x0-b︳<∣a-b∣<,

即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。

㈢、巩固深化,发展思维

1.完成下面的例题

例2.借助计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确到0.01)

问题:

原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?

引导学生在方程右边的常数移到左边,把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f(x)的零点。

借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用二分法求解.

(四)、归纳整理,整体认识

在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题:

(1)本节我们学过哪些知识内容?

(2)你认为学习“二分法”有什么意义?

(3)在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方?

(五)、布置作业

P92习题3.1A组第4题,第5题。

4.1.3用二分法求方程的近似解

(2)

学习目标

继续了解函数的零点与对应方程根的联系,理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质;通过探究、思考,培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力。

学习重点

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.

学习难点

“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.

学习过程

一、创设情景,引入新课

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象(如下图),我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点.计算f(-2)与f

(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特点?

在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?

探究可以发现,在区间[-2,1]的端点上,f(-2)>0,

f

(1)<0,即f(-2)·f

(1)<0,函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2,1)内有零点x=-1,它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样,在区间[2,4]的端点上,f

(2)<0,f(4)>0,即f

(2)·f(4)<0,函数f(x)=x2-2x-3在(2,4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.

我们能从二次函数的图象看到零点的性质:

1.二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.

例如,函数y=x2-x-6的图象在零点-2的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-2时,函数值由正变负,再通过第二个零点3时,函数值又由负变正.

2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

二、讲解新课

1.零点的性质

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·

f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=

0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

求方程f(x)=0的实数根,就是确定函数y=f(x)的零点.一般地,对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说,我们可以将它与函数y=f(x)联系起来,利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根.

2.应用举例

【例1】教科书P88例1.

本例是考查函数零点的个数.通过它要认识到函数的图象及其基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用.

(1)函数f(x)=lnx+2x-6的图象可利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1-3,发现函数的图象与x轴有一个交点,从而对函数有一个零点形成直观的认识.

(2)教科书上的表3-1,可以用计算器或计算机得出,通过动手实践获得对表3-1的认同.通过观察表3-1,结合图象3.1-3,不难得出函数的一个零点在区间(2,3)内.

(3)要说明函数仅有一个零点,除上述理由外,还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增(减)函数的定义证明函数在(0,+∞)上是增函数,也可以由g(x)=lnx、

h(x)=2x-6在(0,+∞)上是增函数,说明函数f(x)=g(x)+h(x)在(0,+∞)上是增函数.

【例2】已知函数f(x)=ax2+bx+1具有以下性质:

①对任意实数x1≠x2,且f(x1)=f(x2)时,满足x1+x2=2;

②对任意x1、x2∈(1,+∞),总有f()>.

则方程ax2+bx+1=0根的情况是()

A.无实数根 B.有两个不等正根

C.有两个异号实根 D.有两个相等正根

方法探究:

(1)本题由条件①,知函数f(x)的对称轴为x=1;由条件②,知函数f(x)是凸函数,即a<0;再由函数f(x)的表达式,知f(x)的图象过点(0,1).根据这三点,可画出函数f(x)的草图,如下图,发现函数f(x)与x轴交点的位置,可知f(x)=0有两个异号实根,故应选C.

(2)由条件②,知函数f(x)的图象开口向下,即a<0.又由x1x2=<0,可知f(x)=0有两个异号实根,故应选C.

方法技巧:

解析

(2)的求解过程明显比解析

(1)简捷,但却不如解析

(1)直观,用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰,便于理解.但不难发现,如果解析

(1)中的三个函数语言之中有1个没有转化(或错误地转化)为图形语言,那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题,要注意由数到形,由形到数转化过程的等价性.

【例3】研究方程|x2-2x-3|=a(a≥0)的不同实根的个数.

方法探究:

纯粹从解方程角度来考虑,必须研究两个方程,讨论相当麻烦.从函数图象角度分析,只需研究函数y=|x2-2x-3|与y=a的图象的交点的个数.

解:

设y=|x2-2x-3|和y=a,利用Excel、图形计算器或其他画图软件,分别作出这两个函数的图象,它们的交点的个数,即为所给方程实根的个数.如下图,当a=0或a>4时,有两个实根;当a=4时,有三个实根;当0<a<4时,有四个实根.

方法技巧:

有关实根个数的题目,通常都采用数形结合思想.做这类题目,必须遵循两个步骤:

一是构造两个熟悉的函数,二是画出图象,关键点画图要准确.

三、课堂练习

教科书P88练习题1.

(1)

(2)

四、课堂小结

1.本节学习的数学知识:

零点的性质:

在函数的零点两侧函数值乘积小于0;零点的确定.

2.本节学习的数学方法:

归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.

五、作业

教科书P92习题3.11、2、3.

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索

当前位置:首页 > 高中教育 > 其它课程

copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有

经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1