八年级数学上册 三角形全等之截长补短讲义及答案人教版Word下载.docx
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知识点睛
截长补短：
题目中出现__________________________时，考虑截长补短；
截长补短的作用是____________________________________
___________________________________________________．
精讲精练
1.已知：
如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．
AC=AB+BD．
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°
，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．
CD=AD+BC．
3.已知：
如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°
，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°
，连接EF．
EF=BF+DE．
4.已知：
如图，在△ABC中，∠ABC=60°
，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．
AC=AE+CD．
5.已知：
如图，在△ABC中，∠A=90°
，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
CE
BD．
【参考答案】
1.略
2.证明：
如图
∵BM平分∠ABC，PD⊥BC，PE⊥BA
∴PE=PD，∠PEB=∠PDB=∠PDC=90°
在Rt△PBE和Rt△PBD中，
∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL）
∴BE=BD
∵BE=AB+AE
BD=AB+CD
∴AE=CD
在△PAE和△PCD中
∴△PAE≌△PCD（SAS）
线段间的和差倍分；
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．
1.补短法：
证明：
如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．
∴∠E=∠3
∵∠ABC是△BDE的一个外角
∴∠ABC=∠E+∠3
∴∠ABC=2∠E
∵∠ABC=2∠C
∴∠E=∠C
在△ADE和△ADC中
∴△ADE≌△ADC（AAS）
∴AE=AC
∴AC=AB+BE
=AB+BD
截长法：
如图，在AC上截取AF=AB，连接DF．
在△ABD和△AFD中
∴△ABD≌△AFD（SAS）
∴∠B=∠AFD，BD=FD
∵∠B=2∠C
∴∠AFD=2∠C
∵∠AFD是△DFC的一个外角
∴∠AFD=∠C+∠FDC
∴∠FDC=∠C
∴DF=FC
∴BD=FC
∴AC=AF+FC
2.
如图，在DC上截取DF=DA，连接EF．
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
在△ADE和△FDE中
∴△ADE≌△FDE（SAS）
∴∠A=∠DFE
∵∠A=∠B=90°
∴∠DFE=∠CFE=∠B=90°
在△CFE和△CBE中
∴△CEF≌△CBE（AAS）
∴CF=CB
∴CD=DF+FC
=AD+BC
3.
如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG．
∵∠ABC=∠D=90°
∴∠ABG=∠D=90°
在△ABG和△ADE中
∴△ABG≌△ADE（SAS）
∴∠3=∠2，AG=AE
∵∠BAD=∠1+∠2+∠EAF
=90°
∠EAF=45°
∴∠1+∠2=45°
∴∠1+∠3=45°
即：
∠GAF=∠EAF=45°
在△EAF和△GAF中
∴△EAF≌△GAF（SAS）
∴EF=GF
∴EF=BG+BF=BF+DE
4.证明：
如图，在AC上截取AF=AE，连接OF．
∵AD，CE分别是△ABC的角平分线
在△AEO和△AFO中
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠5=∠6
在△ABC中，∠B=60°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120︒
∴∠2+∠3=60︒
∵∠5是△AOC的一个外角
∴∠5=∠2+∠3=60︒
∴∠8=∠5=60︒
∠6=∠5=60°
∠7=180°
-∠5-∠6=60°
∴∠7=∠8
在△CFO和△CDO中
∴△CFO≌△CDO（ASA）
∴CD=CF
∴AC=AF+CF
=AE+CD
5.
如图，延长CE交BA的延长线于F．
∵CE⊥BD
∴∠BEC=∠BEF=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠F=∠BCE
∴BC=BF
∴EF=EC=
CF
∵∠BAC=90°
，∠BEC=90°
∴∠1+∠4=90°
，∠3+∠5=90°
∵∠4=∠5
∴∠1=∠3
∴∠BAD=∠CAF=90°
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF（ASA）
∴BD=CF
∵CE=
∴CE=
BD
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