导数大题练习带答案Word下载.docx
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（I）若曲线y=f（x）在点P（1,f
（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（n）若对于任意x0,都有fx2（a1）成立，试求a的取值范围；
（川）记g（x）=f（x）+x—b（b€R）.当a=1时，函数g（x）在区间e1,e上有两个零点,
求实数b的取值范围.
（1）若函数在区间（a,a1）（其中a0）上存在极值，求实数a的取值范围;
⑵如果当x1时，不等式f（x）恒成立，求实数k的取值范围.
x1
（n）当a
1时,f（x）
xlnxx,
f（x）
lnx2,
由f（x）0得x
2・e
6分
①当0
1评
m—时,e
在x[m,—）上f
e
（x）0，在x
（2,me
3]上f（x）0
因此，
f（x）在x
2处取得极小值，
也是最小值.
fmin（x）
~~2.
即Fmin（X）F
（1）
由于f（m）0,f（m3）
（m3）[ln（m3）1]
3，所以a3.……4分
②当m—时，f'
（x）0,因此f（x）在[口,m3]上单调递增,
所以fmin（x）f（m）m（lnm1）,
fmax（x）f（m3）（m3）[ln（m3）1]……9分
问题等价于证明
xlnxx三e
2（x（0,
））,10分
由（n）知a
1时，
f（x）xlnx
x的最小值是
11
2,当且仅当x2时取
ee
得，……11分
设G（x）二
2（x
（0,）），则G
/、1x
（x）x1
易知
Gmax（X）G
（1）—,当且仅当X1时取到，12分
心11
但—，从而可知对一切x（0,）,
都有lnx1x成立13分
2a
2、解：
（I）直线y=x+2的斜率为1.函数f（x）的定义域为（0,+8）,因为f'
（x）—
xx
a2x
所以f'
（1）—-1,所以a=1.所以f（x）—Inx2.f'
（x）一—.由
11xx
f'
（x）0解得x>
0；
由f'
（x）0解得0VxV2.所以f（X）的单调增区间是（2,+8）,
单调减区间是（0,2）.……4分
2aax22
（n）f'
（x）22，由f'
（x）0解得x；
由f'
（x）0解得
xxxa
222、、2
0x.所以f（x）在区间（一，）上单调递增，在区间（0,—）上单调递减.所以当x—
aaaa
时，函数f（x）取得最小值，yminf
（2）.因为对于x（0,）都有f（x）2（a1）成立,
所以f
（2）2（a1）即可
a
由aln2a解得0a-.所
22
.贝Ualn22（a
1）.
以a的取值范围是（0,—）.
……8分
（川）依题得g（x）-
X
lnxx2b，则g'
（x）
2X
x2
2.由g'
0解得x>
1；
由g'
（x）0解得0vxv1.所以函数g（x）在区间（0,1）为减函数，在区间（1,+8）为g（e1）0
增函数.又因为函数g（x）在区间［e一1,e］上有两个零点，所以g（e）0.解得
g
（1）0
1be1.所以b的取值范围是（1,e1］.13
分
3•解：
（I）f（x）的定义域为（0,+8）.1分
因为f'
（x）2x0，所以f（x）在［1,e］上是增函数，
当x=1时，f（X）取得最小值f
（1）=1.
所以f（X）在［1,e］上的最小值为1.3分
n）解法一：
1c/、2x2ax1
f'
（x）2（xa）
设g（x）=2x2—2ax+1,4分
依题意，在区间［；
2］上存在子区间使得不等式g（x）>
0成立.……5分
注意到抛物线g（x）=2x2—2ax+1开口向上，所以只要
g
（2）>
0，或g（?
）0即可
9
由g⑵〉0，即8—4a+1>
0,得a-,
4
113
由g
（2）0，即2a10,得a2，
所以a9,
9所以实数a的取值范围是（，）.
山、斗12x22ax1
解法二：
（x）2（xa）
依题意得，在区间［2,2］上存在子区间使不等式2x2—2ax+1>
0成立.
又因为g'
（川）因为f'
（x）——2ax1，令h（x）=2x2—2ax+1
1显然，当aw0时，在（0,+R）上h（x）>
0恒成立，f'
（x）>
0,此时函数f（x）没有
极值点；
9分
2当a>
0时，
（i）当0，即0a.2时，在（0,+1上h（x）>
0恒成立，这时f'
0,此
10分
时，函数f（x）没有极值点;
小值点.
②当0a1时，丄2,
在区间（0,2）和（―，）上，f（x）0；
在区间（2,—）上f（x）0,
aa
故f（x）的单调递增区间是（0,2）和（一，），单调递减区间是（2,—）.
6分
—1（x2）2
③当a—时，f（x）
22x
故f（x）的单调递增区间是（0,）.7分
④当a时，02,
在区间（0丄）和（2,）上,f（x）0;
在区间（-,2）上f（x）0,
故f（x）的单调递增区间是（0,-）和（2,），单调递减区间是
（-,2）.8分
（川）由已知，在（0,2］上有f（x）maxg（x）max.
9分
由已知，g（x）max0，由（II）可知，
①当a时，
f（x）在（0,2］上单调递增，
故f（x）max
f
（2）2a2（2a1）2ln2
2a22ln2,
所以，2a
22ln20，解得aln2
1，故ln21a—.…
•…10分
②当a-时，f（x）在（0,-］上单调递增，在［丄，2］上单调递减,
2aa
故f（x）maxf
（1）2—2lna.
a2a
111
由a-可知lnaln-曲1,2lna2，2lna2，
所以，221na0,f（x）max0,
综上所述，aln21.12分
因为f（x）
5、（I）直线y=x+2的斜率为1,函数f（x）的定义域为0,
~2—，所以f1
所以fX2Inx2,f
由fx0解得x>
2；
0解得0vxv2
所以f（x）得单调增区间是
2,
，单调减区间是
0,2
ax
由fx0解得x
2_
2;
由f
x0解得0
所以f（x）在区间（三,
）上单调递增，在区间
所以当x-时,
函数f（x）取得最小值ymin
2、
（0,—）上单调递减
f（3
因为对于任意x
0,都有fx2（a1）成立,
1）即可
则aln2
所以f（）2（a
2（a1），由aIna解得
所以a得取值范围是
（0,-）
（川）依题意得
2g（x）
lnx2b，则g（x）
x2
1,由gx0解得0vxv1
g（e1）0
2所以g（e）0解得1be1
eg
（1）0
所以b得取值范围是
（1,-e
1]
12分
6、解:
（1）因为f（x）1lnx,
x0,则
ln2x,-1分
当0x1时，f（x）
0;
当x
1时,
f（x）0.
•f（x）在（0,1）上单调
递增；
在
（1,
）上单调递减，
•••函数f（x）在x1处取得极大值.3分
•••函数f（x）在区间
（a,a）（其中a0）上存在极值,
a1,
1a-
解得
1,
（2）不等式
，即为（x1）（1Inx）k,
记g（x）
（x
1）（1
令h（x）
Inx,
•[h（x）]
min
h
（1）
•-[g（x）]
g
（1）
f（x）
10,从而g（x）
2,•••k2.
则h'
（x）1-
业•g（x）
[（x1）（1Inx）]x（x1）（1Inx）
xInx
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