奥数列方程解应用题Word文档下载推荐.docx
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方程才能求出唯一解.
如果有更多的未知数,可借助今天学习的解题思路来类推出解法.
类型Ⅰ:
列简易方程解应用题
【例1】
(难度系数:
★★)解下列方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
分析:
以下各题不再写检验步骤,请教师强调学生答案要检验.
(2)
(4)
(6)
请教师强调学生在解答时要注意:
移项变号、同类放在等式一边、(4)中去括号时每一项都要发生相应变化、(6)中每一项都同时扩大6倍、(5)中可以先简化运算的一定要先化简。
(7)法1:
加减消元法(8)
法2:
代入法.
建议教师将(7)、(8)贯穿起来,让学生深刻体会:
(1)代入法,以及代入法在什么情况下好用;
(2)加减消元法,其本质是找(制造)到一个未知数的系数相等,再利用等式加减得到结果.
【例2】
★★)汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员按一声喇叭,4秒后听到回音,听到回音时汽车离山谷多远?
(声音的速度以340米/秒计算)
72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒,设听到回音时汽车离山谷x米,根据题意可得:
340×
4=2x+2×
4,解得x=676(米).
【例3】
(小数报数学竞赛初赛)(难度系数:
★★★)用绳子测井深,绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米,求绳长和井深?
法1:
设井深是x厘米,则有:
2x+60×
2=3x-40×
3,井深x=240(厘米),绳长600厘米;
设绳长是y厘米,则有:
【例4】
★★)箱子里面有红、白两种玻璃球,红球数比白球数的3倍多两个,每次从箱子里取出7个白球,15个红球.如果经过若干次以后,箱子里只剩下3个白球,53个红球,那么,箱子里原有红球比白球多多少个?
设取球的次数为x次.那么原有的白球数为(3+7x),红球数为(53+15x).再根据题中的第一个条件:
53+15x=3×
(3+7x)+2,解得x=7,所以原有红球158个,原有白球52个,红球比白球多106个.此题用逆向思维较难求解,但是用方程则思路非常清晰简单.
【例5】
★★★)小新去动物园看猩猩,有的猩猩在洞中,有的在外面玩耍。
他就问管理员叔叔共有多少只猩猩,管理员叔叔开心的答道:
“头数加只数,只数减头数,头数乘只数,只数除头数,把四个得数相加恰好是100.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗?
设动物园有x只猩猩,依题意有:
(x+x)+(x-x)+x×
x+x÷
x=100,即2x+0+x×
x+1=100,亦即
x(x+2)=99,又x整数,只有唯一解x=9.
【例6】
★★★)从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米。
车从甲地开往乙地需9小时,从乙地到甲地需7.5小时,问:
甲乙两地公路有多少千米?
从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?
从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;
从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路。
设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,依题意得
解得x=140,y=70,所以甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路.
【例7】
★★★★)幼儿园有三个班,甲班比乙班多4人,乙班比丙班多4人.老师给小孩分枣,甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3个枣,乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣,结果甲班比乙班总共多分了3个枣,乙班比丙班总共多分了5个枣,三个班总共分了多少个枣?
法1:
设甲班有x人,则乙班有(x-4)人,丙班有(x-8)人;
甲班每人分得y个枣,则乙班每人分得(y+3)个,丁班每人分得(y+8)个.那么有甲班共分得xy个枣,乙班共分得(x-4)(y+3)枣,丙班共分得(x-8)(y+8)个枣.
,整理有
,解得
.
因此,甲班小孩19人,每个小孩分枣12个;
乙班小孩15人,每个小孩分枣15个;
丙班小孩11人,每个小孩分枣20个.19×
12+15×
15+11×
20=673(个),所以,三班共分673个枣.
先看甲、丙两班,有甲班x人比丙班x人少分8x颗枣,而甲班共分得枣比丙班多8个,所以甲班多出的8人共分得8x+8颗枣,即每人分得x+1颗枣.那有
再看乙、丙班,乙班x人比丙班x人少分5x颗枣,而乙班共分得的枣比丙班多5个枣,所以乙班多出的4人共分得5x+x颗枣,即每人分得(5x+5)÷
4颗枣.有(5x+5)÷
4=x+4,解得x=11.因此,甲班小孩19人,每个小孩分枣12个;
20=673(个),所以三班共分673个枣.
类型Ⅲ:
引入参数列方程解应用题
对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。
【例8】
(101中学分班考试试题)(难度系数:
★★)五年级二班数学考试的平均分数是85分,其中
的人得80分以上(含80分),他们的平均分数是90分。
求低于80分的人的平均分。
设该班级有
名同学,低于80分的人的平均分为
,则得方程:
解得x=75.
【例9】
(华杯赛决赛)(难度系数:
★★★★)有两个班的小学生要到少年宫参加活动,但只有一辆车接送,甲班的学生坐车从学校出发的同时,乙班的学生开始步行,车到中途某处,让甲班的学生下车步行,车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫,两班学生正好同时到达。
已知学生步行速度为每小时4千米,载学生时车速为每小时40千米,空车时速度为每小时50千米。
求甲班学生应步行全程的几分之几?
(学生上下车时间不计)
因为每班步行和坐车的行程总和一样长,又同时出发,同时到达,所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。
也就是说图上乙步行的距离b千米和甲步行的距离a千米相等。
而根据题意我们又可以找到下列等量关系:
乙班步行b千米(也就是a千米)所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。
然后根据等量关系列方程解答即可。
设全程为x千米,甲、乙两班分别步行a、b千米,根据题意得:
所以甲班步行了全程的
.
由上例可以看出,列方程解应用题并不一定只设一个未知数,根据解题的需要,我们有时可以多设几个字母来代替数,帮助我们理清题目中复杂的数量关系,以便我们能够很快的找到解决问题的途径。
【例10】
(小学奥林匹克决赛)(难度系数:
★★★)如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12,已知梯形的上底是下底长的
。
那么余下的阴影部分的面积是多少?
设上底为
,那么下底为
,则上下两个三角形的高分别为
,
,梯形的高是
,其面积为
,阴影部分面积为
类型Ⅱ:
列不定方程解应用题
有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程。
这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的,对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。
但注意到题目对解的要求,有时只需要其中一些或个别解。
【例11】
(奥数网习题库)(难度系数:
★)有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8千克油,小的能装5千克油,44千克油恰好装满这些油桶。
问:
大、小油桶各几个?
设有大油桶x个,小油桶y个。
由题意8x+5y=44,知8x≤44,所以x=0、1、2、3、4、5。
相应的将x的所有可能值代入方程,可得x=3时,y=4.此题在解答时,也可联系数论的知识,注意到能被5整除的数的特点,便可轻松求解.
【例12】
(迎春杯预赛试题)(难度系数:
★★)小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种,而且小华买来的铅笔比小强多.小华比小强多买来铅笔__支.
设买5分一支的铅笔m支,7分一支的铅笔n支。
则:
5×
m+7×
n=64,64—7×
n是5的倍数.用n=0,1,2,3,4,5,6,7,8代入检验,只有n=2,7满足这一要求,得出相应的m=10,3.即小华买铅笔lO+2=12支,小强买铅笔7+3=10支,小华比小强多买2支.
【例13】
★★★)小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。
小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分。
小明至多套中小鸡几次?
设套中小鸡x次,套中小猴y次,则套中小狗(10-x-y)次。
根据得61分可列方程:
9x+5y+2(10-x-y)=61,化简后得7x=41-3y。
显然y越小,x越大。
将y=1代入得7x=38,无整数解;
若y=2,7x=35,解得x=5,所以小明至多套中小鸡5次.
附加题目
【附1】
(101测试题)(难度系数:
★★)甲、乙、丙、丁四人共做零件270个。
如果甲多做10个,乙少做10个,丙的个数乘以2,丁做的个数除以2,那么四人做的零件数恰好相等,问丙实际做了多少个?
分析:
设四人做的零件数恰好都为x,根据题意可得:
(x-10)+(x+10)+(x÷
2)+(x×
2)=270,解得x=60,丙实际做了60÷
2=30(个).
【附2】
(迎春杯刊赛)(难度系数:
★★★)有甲乙丙三个人,当甲的年龄是乙的2倍时;
丙是22岁,当乙的年龄是丙的2倍,甲是31岁;
当甲60岁时,丙是多少岁?
设丙22岁时,乙的年龄是x岁,当时甲的年龄就是2x岁.那么甲是3l岁时,乙是(31-x)岁,丙是22+(31-2x)=53-2x岁,且有:
31-x=2×
(53-2x),解得x=25,所以乙25岁时,甲50岁,丙22岁.那么甲60岁时,丙32岁.
利用方程解年龄问题.设定乙的年龄之后,我们可以把各个时期甲、乙、丙的年龄都用含有x的式子表达出来,继而很方便地建立等量关系.
【附3】
★★★)有甲、乙、丙三堆石子,从甲堆中取出8个给乙堆后,甲、乙两堆的石子数就相等了;
再从乙堆中取出6个给丙堆,乙、丙两堆石子个数就也相等了;
此时又从丙堆中取2个给甲堆,使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍,问:
原来甲堆有多少个石子?
设甲堆原来有x个石子,那么甲堆取出8个给乙后,甲乙两堆都是(x-8)个石子;
然后乙取6个给丙,乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14;
再从丙堆取2个给甲堆,那么甲堆变为x-8+2