热弹性与有限元数值仿真(传热学2)PPT文档格式.ppt

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边界元法等。

边界元法等二、二、有限元分析有限元分析软件的应用软件的应用：

目前，有限元理论及其应用已经很成熟，有许多目前，有限元理论及其应用已经很成熟，有许多商业软件可应用，如：

商业软件可应用，如：

ANSYSANSYS、PHOENICSPHOENICS、KIVA-2KIVA-2等。

等。

导热问题数值解法的求解原理导热问题数值解法的求解原理理论解在规定的边界条件下积分，有很大局限性；

数值解借助计算机，前景广阔。

1.有限差分法原理（连续的问题离散的问题）以有限差分无限微分无限划分实质达到精度以差分代数方程微分方程计算机帮助（当离散点足够多时可以满足要求）下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点（简称内节点）介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及非稳态导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。

为讨论方便，把如图中的节点（m，n）及其邻点取出并放大，如图所示。

图4-3内节点离散方程的建立下面以一个二维导热问题为例进行分析：

把一个二维物体在X及Y方向上分别以及距离分割成矩形网格。

则其中节点（m，n）的坐标为：

X=m,Y=n,其余节点类推。

（举例）三种基本差分格式：

以节点（m，n）为例

（1）向前差分：

（2）向后差分：

（3）中心差分：

对无内热源、稳态、二阶导热微分方程，有：

用中心差分格式因为：

所以：

最终得：

如果取正方形网格，即取，则上式为：

tm+1,n+tm-1,n+tm,n+1+tm,n-1-4tm,n=0上式说明：

在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达；

在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。

对于每个节点写出上式，然后联立求解方程组，即可求解。

（如边界温度已知，可逐步递推求解）位于平直边界上的节点这时边界节点（m，n）代表半个元体。

如图4-4中有阴影线的区域所示。

设边界上有向该元体传递的热流密度qw，于是该元体的能量守恒定律可表为图4-4平直边界上的节点x=y时有

（2）外部角点在如图4-5所示的二维墙角计算区域中，节点AE均为外部角点，其特点是每个节点仅代表四分之一个以x、y为边长的元体。

今以外部角点D为例，假设其边界上有向该元体传递的热流密度qw，则其热平衡式为图4-5外部角点与内部角点x=y时有（4-5a）（4-5b）（3）内部角点图4-5中的F点为内部角点，代表了四分之三个元体。

在同样的假设条件下有x=y时有（4-6b）（4-6a）现在来讨论关于边界热流密度的三种情况。

（1）绝热边界令式（4-4）（4-6）中的qw0即可。

（2）qw值不为零以给定的qw值代入上述方程，但要注意上述三式中以传入计算区域的热量为正。

（3）对流边界此时qwh（tftm,n），将此表达式代入式（4-4）（4-6），并将此项中的tm,n与等号前的tm,n合并。

对于x=y的情形有：

平直边界外部角点内部角点出现在式（4-7）（4-9）中的无量纲数hx/是以网格步长x为特征长度的Bi数，它是在对流边界条件的离散过程中引入的。

当计算区域中出现曲线边界或倾斜的边界时，常常用阶梯形的折线来模拟真实边界，然后再用上述方法建立起边界节点的离散方程。

例如，如要用数值方法确定如图4-6a所示二维区域的形状因子，显然，根据对称性我们只要考虑四分之一的计算区域即可。

图4-6a中的内圆边界可以来用图4-6b所示的阶梯形的折线边界来近似。

只要网格取得足够密，这种近似处理方法仍能获得相当准确的结果。

处理不规则边界的更好的方法要用到坐标变换，这里不做介绍。

图4-6不规则区域的处理下面讨论代数方程的求解方法。

前已指出，代数方程组的求解方法分为直接解法及迭代法两大类。

直接解法是指通过有限次运算获得代数方程精确解的方法，像矩阵求逆、高斯消元法等均属于此种方法。

这一方法的缺点是计算所需的计算机内存较大，当代数方程的数目较多时使用不便。

另一类方法称迭代法。

在迭代法中先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算过程中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算后的结果相差小于允许值为止，称为迭代计算已经收敛。

本书中只介绍迭代法。

迭代法中应用较广的是高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，现以简单的三元方程组为例说明其实施步骤。

设有一个三元方程组，记为其中ai,j（i1，3，j1，3）及bi（i1，3）是已知的系数（设均不为零）及常数。

采用高斯赛德尔迭代法求解的步骤如下：

（1）将式（a）改写成关于t1、t2、t3的显式形式（迭代方程），如

（2）假设一组解（即迭代初场），记为t1（0）、t2（0）及t3（0），由式（b）逐计算出改进值t1

（1）、t2

（1）及t3

（1）。

每次计算均用t的最新值代人。

例如当由式（b）中的第三式计算t3

（1）时代入的是t1

（1）及t3

（1）之值。

（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已达到迭代收敛，迭代计算终止。

判断迭代是否收敛的淮则一般有以下三种：

其中上角标k及（k十1）表示迭代次数，tmax（k）为第k次迭代计算所得的计算区域中的最大值。

当计算区域中有接近于零的t时，采用式（4-10c）比较合适。

允许的相对偏差之值常在10-310-6之间，视具体情况而定。

43非稳态导热问题的数值解法非稳态导热与稳态导热的主要差别在于控制方程中多了一个非稳态项，而其中扩散项的离散方法与稳态导热是一样的。

因此，本节讨论重点将放在非稳态项的离散以及扩散项离散时所取时间层的不同对计算带来的影响上。

1.泰勒展开法首先以一维非稳态导热为例讨论时间空间区域的离散化。

如图4-8所示，x为空间坐标，我们将计算区域划分为（N-1）等份，得到N个空间节点；

为时间坐标，我们将时间坐标上的计算区域划分为（I-1）等份，得到I个时间节点。

从一个时间层到下一个时间层的间隔称为时间步长。

空间网格线与时间网格线的交点，如（n，i），代表了时间空间区域中的一个节点的位置，相应的温度记为tn（i）。

非稳态项的离散有三种不同的格式。

如果将函数在节点（n，i+1）对点（n，i）作泰勒展开，可有于是有由式（b）可得在点（n，i）处一阶导数的一种差分表示式,的向前差分:

类似地，将t在点（n，i-1）对点（n，i）作泰勒展开，可得的向后差分的表达式：

如果将t在点（n，i+1）及（n，i-1）处的展开式相加，则可得一阶导数的中心差分的表达式：

在非稳态导热问题的数值计算中，非稳态项的上述三种差分格式都有人采用，本书主要采用向前差分的格式，但也简单介绍了向后差分的格式。

至此，对于形如式（3-10）所示的一维非稳态导热方程，如扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分，则有此式可进一步改写为求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度分布出发，根据边界条件依次求得以后各个时间层上的温度值，式（4-14b）是对平板中各内点进行这种计算的公式。

由该式可见，一旦i层上各节点的温度已知，可立即算出（i+1）时层上各内点的温度，而不必求解联立方程，因而式（4-14）所代表的计算格式称为显式差分格式。

显式的优点是计算工作量小，缺点是对时间步长及空间步长有一定的限制，否则会出现不合理的结果。

如果把式（4-14a）中的扩散项也用（i+1）时层上的值来表示，则有式中已知的是i时层的值tn（i），而未知量有3个，因此不能直接由上式立即算出tn（i+1）之值，而必须求解（i+1）时层的一个联立方程才能得出（i十1）时层各节点的温度，因而式（4-15）称为隐式差分格式。

从时空坐标系中的节点（n，i+1）来看，式（4-15）的左端是非稳态项的一种向后差分。

隐式格式的缺点是计算工作量大，但它对步长没有限制，不会出现解的振荡现象。

以上是将一维非稳态导热方程中的两个导数项用相应的差分表示式代替而建立差分方程的，这种方法称为泰勒展开法。

2.热平衡法这种方法不受网格是否均分及物性是否为常数等限制，是更为一般的方法。

图4-9示出了一无限大平板的右面部，其右侧面受到周围流体的冷却，表面传热系数为h。

此时边界节点N代表宽度为x/2的元体（图中有阴影线的部分）。

对该元体应用能量守恒定律可得经整理得式中是以x特征长度的傅里叶数，称为网格傅里叶数，一项可作如下变化：

式中Fo及Bi分别为网格傅里叶数及网格毕渥数。

于是式（4-16b）又可改写为至此，我们可以把第三类边界条件下、厚度为2的无限大平板的数值计算问题作一归纳。

由于问题的对称性，只要求解一半厚度即可，其数学描写见式（3-10）（3-13），此处不再重复。

设将计算区域等分为N-1等份（N个节点，见图4-10），节点1为绝热的对称面，节点N为对流边界，则与微分形式的数学描写相对应的离散形式为其中式（4-20）是绝热边界的一种离散方式，在确定t1（i+1）之值时需要用到t-1（i）。

根据对称性该值等于t2（i）。

这样，从已知的初始分布t0出发，利用式（4-17）及（4-19）可以依次求得第二时层、第三时层直到I时层上的温度值（见图4-8）。

至于空间步长x及时间步长的选取，原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但所需的计算机内存及计算时间则大大增加。

此外，x及之间的关系还受到显式格式稳定性的影响。

下面我们从离散方程的结构来分析，说明稳定性限制的物理意义。

式（4-17）的物理意义是很明确的。

该式表明，点n上i+l时刻的温度是在该点i时刻温度的基础上计及了左右两邻点温度的影响后得出的。

假如两邻点的影响保持不变，合理的情况是：

i时刻点n的温度越高，则其相继时刻的温度也较高；

反之，i时刻点n的温度越低，则其相继时刻的温度也较低。

在差分方程中要满足这种合理性是有条件的，即式（4-17）中tn（i）前的系数必须大于或等于零。

如用判别式表示，则为必须保证否则将会出现十分不合理的情况。

式（4-21）是从一维问题显式格式的内节点方程得出的限制条件。

同样的讨论还可以对显式格式的对流边界节点方程式（4-19）进行。

显然，为了得出合理的解应有显然，这一要求比内点的限制还要苛刻。

当由边界条件及内节点的稳定性条件得出的Fo不同时，应以较小的Fo为依据来确定所允许采用的时间步长。

当然，对第一类或第二类边界条件的问题，则只有内点的限制条件。

即ANSYSANSYS软件在求解柴油机零部件温度场的应用软件在求解柴油机零部件温度场的应用180活塞二维轴对称模型稳态温度场180活塞三维轴对称模型稳态温度场二维结构耦合系统循环瞬态温度场动画演示三维结构耦合系统循环瞬态温度场动画演示两个不同物体之间的动态导热仿真计算结果示意图：

两个不同物体之间的动态导热仿真计算结果示意图：

第二部分第二部分有限元法原理有限元法原理v有限差分法要对网格规则划分而有限单元法可以进行不规则的划分v缺点：

死板，不利于复杂问题求解v变分原理可以允许网格任意划分v变分法是有限元法的基础v如何把微分方程转变为有限元法的基本计算公式?

v古典的偏微分方程的近似（无限逼近达到要求）计算：

1.有限差分法2.变分法有限单元法泛函的基本定义v定义函数y=f（x）则定义泛函J=Jy（x）vJ值依赖于自变函数y（x）的变化v函数y（x）又依赖于自变量x的变化v泛函是函数的函数v研究泛函的极值问题的方法变分法v研究函数的极值问题的方法微分法v采用变分法求泛函J=Jy（x）的极值问题（变分法）v最简单的一维泛函一般形式Jy（x）=v变