微积分发展历程.docx

微积分发展历程.docx

《微积分发展历程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分发展历程.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

微积分发展历程

微积分发展历程

微积分发展历程

（一）

一、数学无穷发展的萌芽

无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。

彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。

而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。

我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程

早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。

　　在我国，著名的《庄子》一书中有言：

“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。

”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。

而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。

他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。

　　在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。

德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。

欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。

　　由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。

虽说，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。

可以说，对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。

芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。

　　芝诺，公元前五世纪中叶古希腊哲学家。

他提出的四个悖论虽是哲学命题。

但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。

这里仅举其悖论之一。

　　阿基里斯悖论：

跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。

大意是说甲跑的速度远大于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的A点，但甲到了A点，则乙已进到A1点，而当甲再到A1点，则乙又进到A2点，依次类推，直到无穷，两者距离虽越来越近，但甲永远在乙后面而追不上乙。

　　这显然违背人们常识的芝诺悖论，因与无限问题密切相连，就使得古希腊人对无穷有些望之却步静而远之了。

同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。

　　芝诺悖论就这样一直困惑着人们，问题的症结何在呢？

这里我们不得不提到一个伟大的数学家（物理学家）——阿基米德（Archimedes，约公元前287～212），

阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。

在推演这些公式的过程中，他创

微积分发展历程（三）

3）牛顿的“流数术”

牛顿（IsaacNewton,1642——1727）于伽利略去世那年——1642年（儒略历）的圣诞出生于英格兰肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。

少年牛顿不是神童成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具。

17岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父 W.埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克思的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习。

史托克思校长的劝说辞中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言，他对牛顿的母亲说：

“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！

”

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。

三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。

制定微积分，发现万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。

流数术的初建

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。

说在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。

1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。

据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。

1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》（TractonFluxions）著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。

《流数简论》（以下简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。

该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。

牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：

（a）设有两个或更多个物体A，B，C，…在同一时刻内描画线段x，y，z，…。

已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，…的关系。

（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比的关系方程式，求另一线段y。

牛顿对多项式情形给出（a）的解法。

以下举例说明牛顿的解法。

已知方程，牛顿分别以和代换方程中的x和y，然后利用二项式定理，展开得

消去和为零的项，得

，以o除之，得

这时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”，略去这些无限小，得

即所求的速度p与q的关系。

牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多项式，问题（a）的解为

对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。

特别重要的是，《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。

牛顿在《简论》中是这样推导微积分基本定理的：

如上图，设ab=x,△abc=y为已知曲线q=f（x）下的面积，作de∥ab⊥ad∥be=p=1。

当线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面积abed=x，变化率；cb扫出面积△abc=y，变化率，。

由此得，

这就是说，面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值。

这就是微积分基本定理。

利用问题（b）的解法可求出面积y。

作为例子，牛顿算出纵坐标为曲线下的面积是；反之，纵坐标为的曲线真切线斜率为。

当然，《简论》中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明。

牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。

在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。

前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。

正如牛顿本人在《流数简论》中所说：

一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。

这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。

这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。

在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。

流数术的发展

《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。

牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。

他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。

但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后定成了三篇微积分论文，它们分别是：

（1）《运用无限多项方程的分析》（DeAnalysiperAequationesNumeroTerminorumInfinitas，简称《分析学》，完成于1669年）；

（2）《流数法与无穷级数》（MethodusFluxionumetSerierumInfinitarum，简称《流数法》，完成于1671年）；

（3）《曲线求积术》（TractatusdeQuadraturaCurvarum，简称《求积术》，完成于1691年）。

这三篇论文，反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释。

第一篇《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。

1668年苏格兰学者麦卡托（N.Mercator）发表了对数级数的结果，这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果。

《分析学》利用这些无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微保健与无穷级数紧密结合的特点。

关于微积分本身，《分析学》有简短的说明。

论文一开始就叙述了计算曲线下面积的法则。

设有表示的曲线，牛顿论证所求面积为。

牛顿在论证中取x而不是时间t的无限小增量“瞬”为o，以代x，代z，则

用二项式定理展示后以o除两边，略去o的项，即得。

反过来就知曲线下的面积是。

牛顿接着给出了另一条法则：

若y值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理。

由上述可知，牛顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本概念，但却回避了《流数简论》中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量，有时直截了当令为零，从而带上了浓厚的不可分量色彩。

第二篇论文《流数法》可以看作是1666年《流数简论》的直接发展。

牛顿在其中又恢复了运动学观点，但对以物体速度为原形的流数概念作了进一步提炼，并首次正式命名为“流数”（fluxion）。

牛顿后来对《流数法》中的流数概念作了如下解释：

“我把时间看作是连续的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长，我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数，又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬”。

《流数法》以清楚明白的流数语言表述微积分的基本问题为：

“已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系”。

流数语言的使用，使牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大的成功。

无论是《分析学》还是《流数法》都是以无限小量作为微积分算法的谁基础，所不同的是：

在《流数法》中变量x，y的瞬，随时间瞬o而连续变化；而在《分析学》中变量x，y的瞬则是某种不依赖于时间的固定的无限小微元。

大约到17世纪80年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出。

首末比法最先以几何形式在《自然哲学的数学原理》一书中发布，其详尽的分析表述则是在其第三篇微积分论文《曲线求积术》中给出的。

《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述。

牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬o的做法：

“在数学中，最微小的误差也不能忽略。

……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述”。

在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：

“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。

确切地说，它们构成增量的最初比”。

牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。

他举例说明自己的新方法如下：

为了求的流数，设x变为，则变为

，构成两变化的“最初比”：

，然后“设增量o消逝，它们的最终比就是”，这也是x的流数与的流数之比。

这就是所谓“首末比方法”，它相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导。

牛顿在《曲线