中考数学二轮复习数学平行四边形试题及答案.docx

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中考数学二轮复习数学平行四边形试题及答案

中考数学二轮复习数学平行四边形试题及答案

一、解答题

1．如图，在四边形中，∥，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：

四边形是菱形；

（2）若，，求线段的长．

2．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？

（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线作垂线，垂足分别为点M，N．

（1）补全图形，并求证：

DM＝CN；

（2）连接OM，ON，判断OMN的形状并证明．

4．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：

OE＝OF；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

5．如图，是等腰直角三角形，分别以为直角边向外作等腰直角和等腰直角为的中点，连接与交于点．

（1）证明：

四边形是平行四边形；

（2）线段和线段有什么数量关系，请说明理由；

（3）已知求的长度（结果用含根号的式子表示）．

6．如图，在边长为1的正方形中，是边的中点，点是边上一点（与点不重合），射线与的延长线交于点．

（1）求证：

；

（2）若，点是的中点，连结，

①求证：

四边形是平行四边形；

②求的长．

7．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．

（1）当t＝1时，求BF的长度；

（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；

（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．

8．类比等腰三角形的定义，我们定义：

有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．

（1）已知：

如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的长；

（2）在探究性质时，小明发现一个结论：

对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；

（3）如图2，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．

9．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，

（1）如图1，求证：

△AMC≌△AND；

（2）如图1，若DF=，求AE的长；

（3）如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转（）,点C,F的对应点分别为、，连接、，点G是的中点,连接AG，试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.

10．如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．

（1）求的长（用含的代数式表示）；

（2）当四边形是平行四边形时，求的值；

（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？

请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．

（1）见解析；

（2）

【分析】

（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；

（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=AC，在应用勾股定理即可解答．

【详解】

（1）证明：

∵，

∴，

∵为的平分线，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴是菱形；

（2）

∵四边形是菱形

∴

∵

∴

∴

在中，

故答案为

（2）．

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

2．

（1）；

（2）y=4t+2；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．

【分析】

（1）因为BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形，此时点M在点P的左侧，求解即可；

（2）y=（BN+PA）•OC，即可求解；

（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．

【详解】

（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．

此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，

MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，

即3﹣3t=t，解得：

t=；

（2）由题意得：

由点C的坐标知，OC=4，

BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，

则y=（BN+PA）•OC=（t+t+1）×4=4t+2；

（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，

则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，

①当∠MQA为直角时，

∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，

则PA=PM，

而PA=4﹣（3﹣t）=t+1，PM=OP﹣OM=（3﹣t）﹣2t=3﹣3t，

故t+1=3﹣3t，解得：

t=，则OM=2t=1，

故点M（1，0）；

②当∠QMA为直角时，

则点M、P重合，

则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：

t=1，

故OM=OP=2t=2，

故点M（2，0）；

综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．

【点睛】

本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．

3．

（1）见解析；

（2）MON为等腰直角三角形，见解析

【分析】

（1）如图1，由正方形的性质得CB＝CD，∠BCD＝90°，再证明∠BCN＝∠CDM，然后根据“AAS”证明△CDM≌△CBN，从而得到DM＝CN；

（2）如图2，利用正方形的性质得OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，再利用∠BCN＝∠CDM得到∠OCN＝∠ODM，则根据“SAS”可判断△OCN≌△ODM，从而得到ON＝OM，∠CON＝∠DOM，所以∠MON＝∠DOC＝90°，于是可判断△MON为等腰直角三角形．

【详解】

（1）证明：

如图1，

∵四边形ABCD为正方形，

∴CB＝CD，∠BCD＝90°，

∵DM⊥CP，BN⊥CP，

∴∠DMC＝90°，∠BNC＝90°，

∵∠CDM+∠DCM＝90°，∠BCN+∠DCM＝90°，

∴∠BCN＝∠CDM，

在△CDM和△CBN中

，

∴△CDM≌△CBN，

∴DM＝CN；

（2）解：

△OMN为等腰直角三角形．

理由如下：

如图2，∵四边形ABCD为正方形，

∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，

∵∠BCN＝∠CDM，

∴∠BCN﹣45°＝∠CDM﹣45°，即∠OCN＝∠ODM，

在△OCN和△ODM中

，

∴△OCN≌△ODM，

∴ON＝OM，∠CON＝∠DOM，

∴∠MON＝∠DOC＝90°，

∴MON为等腰直角三角形．

【点睛】

本题考查正方形的性质：

正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质．

4．

（1）证明见解析；

（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；

（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；

（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．

【详解】

（1）证明：

在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE＝OF；

（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

∵∠AOF＝90°，

∴∠BAC＝∠AOF，

∴AB∥EF，

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，

∴AC＝＝2，

∴OA＝1＝AB，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

∵BF＝DF，

∴△BFD是等腰三角形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，

∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），

∴∠BOF＝90°，

∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．

5．

（1）见解析；

（2）BE=CD，理由见解析；（3）EF=．

【分析】

（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．

（3）先证明△DBF是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．

【详解】

解：

（1）∵△ABC和△ABD都是等腰直角三角形

∴∠CAB=∠ABD=45°，BD=AB=BC=2BC=2AC

∴AC∥BD

又∵G为BD的中点，

∴BD=2DG，

∴AC=DG，AC∥DG

∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）BE=CD，理由如下

∵△AEC和△ABD都是等腰直角三角形AE=AC，AB=AD

∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，

∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△DAC与△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE，

∴BE=CD；

（3）∵△DAC≌△BAE

∴∠AEB=∠ACD

又∵∠EAC=90°

∴∠EFC=∠DFB=90°

∴△DBF是直角三角形

∵BC=，

∴BD=2，

根据勾股定理