李雅普诺夫稳定性分析课件PPT文件格式下载.ppt

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4.1引言引言稳稳稳稳定定定定性性性性是是控控制制系系统统能能否否正正常常工工作作的的前前提提条条件件。

控控制制系系统的稳定性通常有两种定义方式：

统的稳定性通常有两种定义方式：

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性是是指指系系统统在在零零初初始始条条件件下下通通过过其其外外部部状状态态，即即由由系系统统的的输输入入和和输输出出两两者者关关系系所所定定义义的的外外部部稳稳定定性性，即即有有有有界界界界输输输输入入入入有界输出稳定有界输出稳定有界输出稳定有界输出稳定。

外部稳定性只适用于线性系统。

内部稳定性内部稳定性内部稳定性内部稳定性研究系统稳定性的方法：

研究系统稳定性的方法：

李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析经典控制理论：

经典控制理论：

劳斯劳斯-胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据现代控制理论：

李亚普诺夫稳定性现代控制理论：

李亚普诺夫稳定性第一法第一法第二法第二法李李亚亚普普诺诺夫夫第第一一法法又又称称间间接接法法。

它它的的基基本本思思路路是是通通过过系系统统状状态态方方程程的的解解来来判判别别系系统统的的稳稳定定性性。

对对于于线线性性定定常常系系统统，只只需需解解出出特特征征方方程程的的根根即即可可作作出出稳稳定定性性判判断断；

对对于于非非线线性性不不很很严严重重的的系系统统，则则可可通通过过线线性性化化处处理理，取取其其一一次次近近似似得得到到线线性性化化方方程程，然然后后再再根根据据其其特特征征根根来来判判断断系系统统的的稳稳定性。

定性。

以以上上讨讨论论的的都都是是指指系系统统的的状状态态稳稳定定性性，或或称称内内部部稳稳定定性。

但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。

性。

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析线性定常系统线性定常系统平平衡衡状状态态渐渐进进稳稳定定的的充充要要条条件件是是系系统统矩矩阵阵A的的所所有有特特征征值均具有负实部。

值均具有负实部。

线性系统状态稳定性判据线性系统状态稳定性判据线性系统状态稳定性判据线性系统状态稳定性判据1、线性系统的稳定判据、线性系统的稳定判据现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析线线性性定定常常系系统统输输出出稳稳定定的的充充要要条条件件是是其其传传递递函函数数的极点全部位于的极点全部位于s的左半平面。

的左半平面。

线性系统输出稳定性判据线性系统输出稳定性判据线性系统输出稳定性判据线性系统输出稳定性判据如如果果系系统统对对于于有有界界输输入入u所所引引起起的的输输出出y是是有有界界的的，则则称系统为输出稳定。

称系统为输出稳定。

例题例题4.1系统的状态空间描述为系统的状态空间描述为试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。

试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析解解：

（1）由由A阵的特征方程阵的特征方程可得特征值可得特征值，。

故系统的状态不是渐近稳定的。

（2）由系统的传递函数由系统的传递函数可可见见传传递递函函数数的的极极点点位位于于s的的左左半半平平面面，故故系系统统输输出出稳稳定定。

这这是是因因为为具具有有正正实实部部的的特特征征值值被被系系统统的的零零点点对对消消了了，所所以以在在系系统统的的输输入入输输出出特特性性中中没没被被表表现现出出来来。

由由此此可可见见，只只有有当当系系统统的的传传递递函函数数W（s）不不出出现现零零、极极点点对对消消现现象象，并并且且矩矩阵阵A的的特特征征值值与与系系统统传传递递函函数数W（s）的的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。

极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。

李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析李李亚亚普普诺诺夫夫第第二二方方法法又又称称直直接接法法。

它它的的基基本本思思想想不不是是通通过过求求解解系系统统的的运运动动方方程程，而而是是借借助助了了一一个个李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数来来直直接接对对系系统统平平衡衡状状态态的的稳稳定定性性做做出出判判断断，它它是是从从能能量量观观点点进进行行稳稳定定性性分分析析的的。

如如果果一一个个系系统统被被激激励励后后，其其储储存存的的能能量量随随着着时时间间的的推推移移逐逐渐渐衰衰减减，到到达达平平衡衡状状态态时时，能能量量将将达达最最小小值值，那那么么，这这个个平平衡衡状状态态是是渐渐近近稳稳定定的的。

反反之之，如如果果系系统统不不断断地地从从外外界界吸吸收收能能量量，储储能能越越来来越越大大，那那么么这这个个平平衡衡状状态态就就是是不不稳稳定定的的。

如如果果系系统统的的储储能能既既不不增增加加，也也不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。

不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。

4.2李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述1892年年俄俄国国学学者者李李亚亚普普诺诺夫夫发发表表了了运运动动稳稳定定性性一一般般问问题题，最最早早建建立立了了运运动动稳稳定定性性的的一一般般理理论论，并并把把分分析析常常微微分分方方程程组组稳稳定定性性的的全全部部方方法法归归纳纳为为两两类类。

第第一一类类方方法法先先求求出出常常微微分分方方程程组组的的解解，而而后后分分析析其其解解运运动动的的稳稳定定性性，称称为为间间接接方方法法；

第第二二类类方方法法不不必必求求解解常常微微分分方方程程组组，而而是是提提供供出出解解运运动动稳稳定定性性的的信信息息，称称为为直直接接方方法法，它它是是从从能能量量观观点提供了判别所有系统稳定性的方法。

点提供了判别所有系统稳定性的方法。

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析稳稳定定性性是是指指系系统统受受外外界界干干扰扰后后，平平衡衡状状态态被被破破坏坏，但但当当干干扰扰去去掉掉后后，系系统统仍仍能能自自动动地地回回到到平平衡衡状状态态下下继继续续工工作作。

具具有有稳稳定定性性的的系系统统称称为为稳稳定定系系统统，不不具具有有稳稳定定性性的的系系统统称称为不稳定系统。

为不稳定系统。

1、稳定性、稳定性一、物理基础一、物理基础稳定性是系统本身固有的属性。

稳定性是系统本身固有的属性。

线线线线性性性性自自自自动动动动控控控控制制制制系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件：

系系系系统统统统特特特特征征征征方方方方程程程程的的的的全全全全部部部部根根根根是是是是负负负负实实实实部部部部或或或或实实实实部部部部为为为为负负负负的的的的复复复复数数数数，即即即即全全全全部部部部根根根根在在在在复复复复平平平平面的左半平面。

面的左半平面。

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析2、系统的平衡状态、系统的平衡状态设系统为设系统为，其中，其中，则，则，对对于于该该系系统统，如如果果存存在在对对所所有有时时间间t都都满满足足的的状状态态，即即，则把，则把叫做系统的平衡状态。

叫做系统的平衡状态。

对于线性定常系统对于线性定常系统而言，其平衡状态满足而言，其平衡状态满足，若若A是是非非奇奇异异矩矩阵阵，则则只只有有，即即对对线线性性系系统统而而言言平平衡衡状状态态只只有有一一个个，在在坐坐标标原原点点；

反反之之，则则有有无无限限多个平衡状态。

多个平衡状态。

对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。

李李亚亚普普诺诺夫夫第第二二法法建建立立在在这这样样一一个个直直观观的的物物理理事事实实上上：

如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即，那那么么随随着着系系统统的的运运动动，其其储储存存的的能能量量将将时时间间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。

的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析3、李亚普诺夫第二法、李亚普诺夫第二法对于系统对于系统建立一个能量函数建立一个能量函数，即，即对对于于任任意意时时，而而，且且仅仅当当时时，才才有有，则系统，则系统是稳定的。

是稳定的。

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析由由此此，李李亚亚普普诺诺夫夫第第二二法法可可归归结结为为：

在在不不直直接接求求解解的的前前提提下下，通通过过李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数及及其其对对时时间间的的一一次次导导数数的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信息。

的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信息。

因因此此，应应用用李李亚亚普普诺诺夫夫第第二二法法的的关关键键在在于于能能否否找找到到一一个合适的李亚普诺夫函数个合适的李亚普诺夫函数（即即能量函数能量函数能量函数能量函数）。

4、能量函数、能量函数广广义义能能量量函函数数称称为为李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数，如如果果其其不不显显含时间含时间t，就记成，就记成。

设设为任一标量函数，其中为任一标量函数，其中X为系统的状态变量，为系统的状态变量，如果如果具有以下性质：

具有以下性质：

（1）是连续的；

是连续的；

（2）是正定的；

是正定的；

（3）（3）当当时，时，。

（4）那么函数那么函数称为李亚普诺夫函数。

称为李亚普诺夫函数。

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析能量函数的定义能量函数的定义能量函数的定义能量函数的定义反映能量的变化趋势反映能量的变化趋势反映能量的大小反映能量的大小反映能量的分布反映能量的分布李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数的的选选取取不不唯唯一一，多多数数情情况况下下可可取取为为二二次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。

次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。

现代控制理论现代控制理论第第4章章李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析1、二次型函数的定义及其表达式、二次型函数的定义及其表达式二、二次型及其定号性二、二次型及其定号性

（1）二次型函数的定义二次型函数的定义在代数式中我们常见一种多项式函数如下在代数式中我们常见一种多项式函数如下其其中中每每项项的的次次数数都都是