Euler法与改进Euler法PPT文档格式.ppt
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结论：
上式说明上式说明Euler公式公式的的局部截断误差局部截断误差为为它的精度很差。
它的精度很差。
一般很少用它来求近似值，但是一般很少用它来求近似值，但是Euler法法却体现了数值方法的基本思想。
却体现了数值方法的基本思想。
定义定义8.1如果某种数值方法的局部截断误差为如果某种数值方法的局部截断误差为，则称该方法是，则称该方法是p阶方法或阶方法或具有具有p阶精度阶精度。
显然。
显然p越大，方法的越大，方法的精度越高。
精度越高。
注注：
Euler方法具有一阶精度，因此它的精度不高。
方法具有一阶精度，因此它的精度不高。
六六改进的改进的EulerEuler方法方法改进的改进的Euler方法方法利用数值积分将微分方程离散化利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式得梯形公式:
解决方法：
有的可化为显格式，但有的不行解决方法：
有的可化为显格式，但有的不行梯形方法为隐式算法梯形方法为隐式算法改进的改进的Euler方法方法梯形公式比欧拉法精度高一些梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大但计算量较大实际计算中只迭代一次，这样建立的预测实际计算中只迭代一次，这样建立的预测校正系统称作校正系统称作改进的欧拉公式改进的欧拉公式。
改进的改进的Euler方法方法改进的改进的Euler方法方法二、改进的Euler法梯形方法虽然提高了精度，但算法复杂，计算梯形方法虽然提高了精度，但算法复杂，计算量大。
如果实际计算时精度要求不太高，用梯形公量大。
如果实际计算时精度要求不太高，用梯形公式求解时，每步可以迭代一次，由此导出一种新的式求解时，每步可以迭代一次，由此导出一种新的方法方法改进改进Euler法法。
这种方法实际上就是。
这种方法实际上就是将将Euler公式与梯形公式结合使用公式与梯形公式结合使用：
先用：
先用Euler公式公式求求的一个初步近似值的一个初步近似值，称为，称为预测值预测值，预测值，预测值的精度可能很差，再用的精度可能很差，再用梯形公式校正梯形公式校正求得近似值求得近似值即即改进改进Euler法法亦称为由亦称为由Euler公式公式和和梯形公式梯形公式得到的得到的预测校正预测校正（Predictor-Corrector）系统。
系统。
为便于上机编程，常改写成为便于上机编程，常改写成l改进改进EulerEuler方法计算框图方法计算框图开始开始YYNN例例解解
（1）用）用Euler方法方法得算式为得算式为
（2）用）用改进的改进的Euler方法方法得算式为得算式为七、七、龙格龙格-库塔法库塔法/*Runge-KuttaMethod*/建立高精度的单步递推格式。
建立高精度的单步递推格式。
单步递推法的基本思想是从单步递推法的基本思想是从（xi,yi）点出发，以某一点出发，以某一斜率沿直线达到斜率沿直线达到（xi+1,yi+1）点。
欧拉法及其各种变点。
欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为形所能达到的最高精度为2阶阶。
考察改进的欧拉法，可以将其改写为：
斜率斜率一定取一定取K1K2的平均值吗？
的平均值吗？
步长一定是一个步长一定是一个h吗吗？
首先希望能确定系数首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有，使得到的算法格式有2阶阶精度，即在精度，即在的前提假设下，使得的前提假设下，使得Step1:
将将K2在在（xi,yi）点作点作Taylor展开展开将改进欧拉法推广为：
将改进欧拉法推广为：
）,（）,（12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii+=+=+Step2:
将将K2代入第代入第1式，得到式，得到Step3:
将将yi+1与与y（xi+1）在在xi点的点的泰勒泰勒展开作比较展开作比较要求要求，则必须有：
，则必须有：
这里有这里有个未知个未知数，数，个方程。
个方程。
32存在无穷多个解。
所有满足上式的格式统称为存在无穷多个解。
所有满足上式的格式统称为2阶龙格阶龙格-库库塔格式。
塔格式。
注意到，注意到，就是改进的欧拉法。
就是改进的欧拉法。
Q:
为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
其中其中i（i=1,m），i（i=2,m）和和ij（i=2,m;
j=1,i1）均为待均为待定系数，确定这些系数定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。
的步骤与前面相似。
）.,（.）,（）,（）,（.1122112321313312122122111+=+=+=+=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyy最常用为四级最常用为四级4阶经典龙格阶经典龙格-库塔法库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：
2Runge-KuttaMethod注：
注：
龙格龙格-库塔法库塔法的主要运算在于计算的主要运算在于计算Ki的值，即计算的值，即计算f的的值。
值。
Butcher于于1965年给出了计算量与可达到的最高精年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：
度阶数的关系：
753可达到的最高精度可达到的最高精度642每步须算每步须算KiKi的个数的个数由于龙格由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。
对于光滑性不太好的解，最好解函数的光滑性影响。
对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长采用低阶算法而将步长hh取小。
取小。
lRunge-KuttaRunge-Kutta方法的设计思想方法的设计思想设法在设法在xn,xn+1xn,xn+1区间内多预区间内多预报几个点的斜率值，报几个点的斜率值，利用这些斜率值，将他们加利用这些斜率值，将他们加权平均作为平均斜率权平均作为平均斜率的近似，有可能构造出更高的近似，有可能构造出更高精度的计算格式精度的计算格式分别用欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格库塔法及Dsolve方法求解并对比.八、程序设计要求八、程序设计要求12解常微分方程的初值问题解常微分方程的初值问题用欧拉法求解分别取步长用欧拉法求解分别取步长h=0.1和和h=0.05。
3要求取步长要求取步长h=0.2，计算，计算y（1.2）和和y（1.4）的近似值，小数的近似值，小数点后至少保留点后至少保留5位。
位。
45考察初值问题考察初值问题在区间在区间0,0.5上的解。
上的解。
分别用欧拉改进的欧拉格式、四阶龙格库塔法计算数值解。
的数值解，并与精确解的数值解，并与精确解比较。
比较。
以以h=0.1h=0.1为步长求为步长求6
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