基本不等式课件1PPT课件下载推荐.ppt

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样的不等关系？

探究：

S_S问：

那么它们有相等的情况吗？

问：

ADBCEFGHba重要不等式：

重要不等式：

一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。

时，等号成立。

ABCDE（FGH）ab思考：

你能你能给出不等式出不等式的的证明明吗？

证明：

（作差法）证明：

（作差法）结论：

结论：

一般地，一般地，对于任意于任意实数数a、b，总有有当且当且仅当当a=b时，等号成立，等号成立文字叙述为文字叙述为:

两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的22倍倍.适用范围：

适用范围：

a,bR替换后得到：

替换后得到：

即：

你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？

要证证明：

要证只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分分析析法法证明不等式：

证明不等式：

特别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：

通常我们把上式写作：

当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；

的几何平均数；

文字叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：

a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?

RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?

CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?

OD=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?

如何用如何用a,b表示表示CD?

OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?

OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：

半径不小于弦长的一半几何意义：

半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的22倍倍a,bRa0,b0填表比较：

填表比较：

注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式例例1：

（1）如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短，最最短的篱笆是多少？

短的篱笆是多少？

解：

如图设解：

如图设BC=x，CD=y，则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2（x+y）m.当且仅当当且仅当时，时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m.此时此时x=y=10.x=yABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.例例1：

（2）如如图图，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的的长长和和宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最大，最大面积是多少？

最大，最大面积是多少？

如图，设解：

如图，设BC=x，CD=y，则2（x+y）=36,x+y=18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xym2得得xy81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9ABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；

各项皆为各项皆为正数正数；

和或积为和或积为定值定值；

注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知x,y都是正数都是正数,P,S是常数是常数.

（1）xy=Px+y2P（当且仅当当且仅当x=y时时,取取“=”号号）.

（2）x+y=SxyS2（当且仅当当且仅当x=y时时,取取“=”号号）.14变式变式：

如图，用一段长为如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

花园的面积最大，最大面积是多少？

如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xym2ABDC得得1442xy当且仅当当且仅当时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即xy72即即x=12，y=6x+2y=24x=2y变式变式：

如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xym2ABDCx+y不是不是定值定值.2=24为为得得2xy144当且仅当当且仅当时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即xy72即即x=12，y=6x+2y=24x=2y变式变式：

分析：

设分析：

设AB=x，BC=242x，ABDC变式变式：

设解：

设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为矩形花园的面积为x（242x）m2当且仅当当且仅当2x=242x,即即x=6时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2（其中其中2x+（24-2x）=24是定值是定值）变式变式：

设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为矩形花园的面积为x（242x）m2因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72小结：

小结：

求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知x,y都是正数都是正数,P,S是常数是常数.

（1）xy=Px+y2P（当且仅当当且仅当x=y时时,取取“=”号号）.

（2）x+y=SxyS2（当且仅当当且仅当x=y时时,取取“=”号号）.142.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式两个重要的不等式1、本节课主要内容？

、本节课主要内容？

你会了你会了吗？

吗？

五五、小结小结22、两个结论、两个结论:

两个正数两个正数,积定和最小积定和最小;

和定积最大。

2、（04重庆）已知重庆）已知则则xy的最大值是的最大值是。

1、当、当x0时，时，的最小值为的最小值为，此时，此时x=。

213、若实数、若实数，且，且，则，则的最小的最小值是（值是（）A、10B、C、D、D第二课时习题课题型一、构造基本不等式证明不等式题型一、构造基本不等式证明不等式构造条件构造条件二二、应用应用例例1、若若,求求的最小值的最小值.变变3:

若若,求求的最小值的最小值.变变1:

若若求求的最小值的最小值变变2:

若若,求求的最小值的最小值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式问问:

在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？

三三、应用应用例例2、已知已知,求函数求函数的最大值的最大值.变式变式:

已知已知,求函数求函数的最大值的最大值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式课堂练习1.

（1）已知，求函数的最大值。

（2）已知，且，求的最小值。

2.求函数的值域。

要求xy的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会答案：

A例6（数学与日常生活）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？

此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元变式训练6如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成

（1）现有长36m的钢筋网材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

练习练习2：

若：

若，则（，则（）

（1）（）

（2）（）（3）B练习练习1：

设：

设a0，b0，给出下列不等式给出下列不等式其中恒成立的其中恒成立的。

练习：

213、若实数、若实数