平面向量的基本定理及坐标表示优质PPT.ppt

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=0=0时，时，a=0.=0.3.3.平面向量共线定理是什么？

平面向量共线定理是什么？

4.4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为力为GG，下滑力为，下滑力为FF11，木块对斜面的压，木块对斜面的压力为力为FF22，这三个力的方向分别如何？

，这三个力的方向分别如何？

三者有何相互关系？

GGFF11FF22非零向量非零向量a与向量与向量b共线共线存在唯存在唯一实数一实数，使，使ba.5.5.在物理中，力是一个向量，力的合成在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算就是向量的加法运算.力也可以分解，力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和成两个不同方向的分力之和.将这种力将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论新的数学理论.探究

（一）：

探究

（一）：

平面向量基本定理平面向量基本定理思考思考11：

给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e11，e22，如何求作向量，如何求作向量33e1122e22和和e1122e22？

e11e2222e22BBCCOO33e11AAe11DD33e1122e22e11-2-2e22思考思考22：

如图，设如图，设OAOA，OBOB，OCOC为三条共为三条共点射线，点射线，PP为为OCOC上一点，能否在上一点，能否在OAOA、OBOB上分别找一点上分别找一点MM、NN，使四边形，使四边形OMPNOMPN为平为平行四边形？

行四边形？

MMNNOOAABBCCPP思考思考77：

根据上述分析，平面内任一向根据上述分析，平面内任一向量量a都可以由这个平面内两个不共线的都可以由这个平面内两个不共线的向量向量e11，e22表示出来，从而可形成一个表示出来，从而可形成一个定理定理.你能完整地描述这个定理的内容你能完整地描述这个定理的内容吗？

吗？

若若e11、e22是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数11，22，使，使a1e12e2.思考思考88：

上述定理称为上述定理称为平面向量基本定理平面向量基本定理，不共线向量不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所有向量的一组有向量的一组基底基底.那么同一平面内可那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？

不同基底对以作基底的向量有多少组？

不同基底对应向量应向量a的表示式是否相同？

的表示式是否相同？

若若e11、e22是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数11，22，使，使a1e12e2.探究探究（二二）:

）:

平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示00，180180思考思考11：

不共线的向量有不同的方向，对不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量于两个非零向量a和和b，作，作a，b，如图如图.为了反映这两个向量的位置关系，为了反映这两个向量的位置关系，称称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角.你认为向量你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？

的夹角的取值范围应如何约定为宜？

baabAABBOO思考思考22：

如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则，则称称向量向量a与与b垂直垂直，记作，记作ab.互相垂直互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

一组基底？

ba思考思考33：

把一个向量分解为两个互相垂直把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解.如图，向如图，向量量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量是两个互相垂直的单位向量，向量a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且|a|=4|=4，以向量，以向量i、j为基底，向量为基底，向量a如何表示？

如何表示？

BBaiOOjAAPP思考思考44：

在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与xx轴、轴、yy轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，作为基底，对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数理知，有且只有一对实数xx、yy，使得，使得axxiyyj.我们把我们把有序数对（有序数对（xx，yy）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a（x（x，y）.y）.其中其中xx叫做叫做a在在xx轴上轴上的坐标，的坐标，yy叫做叫做a在在yy轴轴上的坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫做向量的的坐标表示坐标表示.那么那么xx、yy的的几何意义如何？

几何意义如何？

aixxyyOOjxxyy思考思考55：

相等向量的坐标必然相等，作向相等向量的坐标必然相等，作向量量a，则，则（x（x，y）y），此时点，此时点AA是坐是坐标是什么？

标是什么？

AAaixxyyOOjA（x,yA（x,y）理论迁移理论迁移例例11如图，已知向量如图，已知向量e11、e22，求作向，求作向量量2.52.5e1133e22.e1e2CCOOAA2.52.5e11BB33e22例例22如图，写出向量如图，写出向量a，b，c，d的坐标的坐标.2452abcd4252xyOa=（2,3）=（2,3）b=（-2,3）=（-2,3）c=（-2,-3）=（-2,-3）d=（2,-3）=（2,-3）小结作业小结作业1.1.平面向量基本定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点一个承前起后的重要知识点.2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是关系的一个几何量，平行向量的夹角是00或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是9090.3.3.向量的坐标表示是一种向量与坐向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意标的对应关系，它使得向量具有代数意义义.将向量的起点平移到坐标原点，则平将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标移后向量的终点坐标就是向量的坐标.2.3.32.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.42.3.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题提出问题提出1.1.平面向量的基本定理是什么？

平面向量的基本定理是什么？

若若e11、e22是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量则对于这一平面内的任意向量a，有且只有，有且只有一对实数一对实数11，22，使，使a1e12e2.2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？

用坐标表示向量的基本原理是什么？

设设i、j是与是与xx轴、轴、yy轴同向的两个单位向轴同向的两个单位向量，若量，若axiyj，则，则a（xx，yy）.）.3.3.用坐标表示向量，使得向量具有代数用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径的途径.我们需要研究的问题是，我们需要研究的问题是，向量向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等映等.探究

（一）：

平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算思考思考11：

设设i、j是与是与xx轴、轴、yy轴同向的两个轴同向的两个单位向量，若单位向量，若a=（x=（x11，yy11）,）,b=（x=（x22，yy22）,）,则则axx11iyy11j，bbxx22iyy22j，思考思考22：

根据向量的坐标表示，向量根据向量的坐标表示，向量ab，ab，a的坐标分别如何？

的坐标分别如何？

ab（x1x2，y1y2）;

a（x1，y1）.思考思考33：

如何用数学语言描述上述向量如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？

的坐标运算？

两个向量和（差）的坐标分别等于这两两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；

个向量相应坐标的和（差）；

实数与向量的积的坐标等于用这个实数实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标.ab（x1x2，y1y2）;

a（x1，y1）.ooxxyyBBAA思考思考44：

如图如图,已知点已知点A（xA（x11,y,y11）,B（x）,B（x22,y,y22），那么向量那么向量的坐标如何？

一般地，一个的坐标如何？

一般地，一个任意向量的坐标如何计算？

任意向量的坐标如何计算？

（x2x1，y2y1）.任意一个向量的坐标等于表示该向量任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标的有向线段的终点坐标减去始点坐标.思考思考66：

若向量若向量a=（x=（x，y）y），则，则|a|如何计如何计算？

若点算？

若点A（xA（x11,y,y11），B（xB（x22，yy22），则，则如何计算？

如何计算？

AAaxxyyOO探究

（二）：

探究

（二）：

平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示思考思考11：

如果向量如果向量a，b共线（其中共线（其中b0），），那么那么a，b满足什么关系？

满足什么关系？

思考思考22：

设设a=（x1，y1）,b=（x2，y2），若向若向量量a，b共线（其中共线（其中b0），则这两个向量），则这两个向量的坐标应满足什么关系？

反之成立吗？

的坐标应满足什么关系？

ab.向量向量a，b（b0）共线共线axxyyOObAABBCCDD思考思考33：

如何用解析几何观点得出上述结如何用解析几何观点得出上述结论？

论？

向量向量a，b（b0）共线共线理论迁移理论迁移例例11已知已知a=（2,1）,=（2,1）,b=（=（3,4）,3,4）,求求ab，ab，3a4b的坐标的坐标.ab（1，5），ab（5，3），3a4b（6，19）.例例22如图，已知如图，已知ABCDABCD的三个顶点的的三个顶点的坐标分别是坐标分别是AA（-2-2，11）、）、BB（-1,3-1,3）、）、C（3,4）C（3,4），试求顶点，试求顶点DD的坐标的坐标.ooxxyyAABBCCDDDD（22，22）例例33已知向量已知向量a=（4=（4，2）2），b=（6=（6，y）,y）,且且ab，求，求yy的值的值.y3例例44已知点已知点A（-1A（-1，-1）-1），B（1B（1，3）3），CC（2（2，5）5），试判断，试判断AA、B