二面角的平面角求法综合PPT文档格式.ppt

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在PB上取不同于P的一点O，在内过O作OCAB交PM于C，在内作ODAB交PN于D，连CD，可得COD是二面角-AB-的平面角设PO=a，BPM=BPN=45CO=a，DO=a，PCa，PDa又MPN=60CD=PCaCOD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC二面角例例2如如图图P为为二二面面角角内内一一点点，PA,PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。

求这二面角的度数。

过过PA、PB的平面的平面PAB与与棱棱交于交于O点点PAPAPBPB平面PABAOB为二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得由余弦定理得P=60AOB=120这二面角的度数为这二面角的度数为120解：

解：

ABPO二面角OABPC取取AB的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为AC中点中点，ABC=90OEBC且且OEBC在RtPOE中，OE，PO所求的二面角所求的二面角P-AB-C的正切值为的正切值为例例3如如图图，三三棱棱锥锥P-ABC的的顶顶点点P在在底底面面ABC上上的的射射影影是是底底面面RtABC斜斜边边AC的的中中点点O，若若PB=AB=1，BC=，求二面角求二面角P-AB-C的正切值的正切值。

PEO为二面角为二面角P-AB-C的平面角的平面角在在RtPBE中中，BE，PB=1，PEOEAB，因此因此PEABE解：

EOP二面角练练习习1：

已已知知RtABC在在平平面面内内，斜斜边边AB在在30的的二二面面角角-AB-的的棱棱上上，若若AC=5，BC=12，求求点点C到到平平面面的距离的距离CO。

ACBOD练练习习2：

在在平平面面四四边边形形ABCD中中，AB=BC=2，AD=CD=,B=120；

将将三三角角形形ABC沿沿四四边边形形ABCD的的对对角角线线AC折折起起来来，使使DB=，求求ABC所所在平面与在平面与ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。

所在平面所成二面角的平面角的度数。

ABCBDO二面角探究一：

试一试：

例1、如图：

在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：

平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。

SAECBD分析分析：

1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；

2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。

如图：

SA平面ABC,SAAB，SAAC，SABD;

于是SB=a又BC=a，SB=BC;

E为SC的中点，BESC又DESC故SC平面BDE可得BDSC又BDSABD平面SACCDE为平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角。

ABBC，AC=a在直角三角形SAC中，tanSCA=SCA=300，CDE=900-SCA=600解毕。

议一议：

刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？

请各小组讨论交流一下。

SECABD探究二：

试一试例二：

直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，DAB=600,F为棱AA1的中点。

求：

平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。

A1D1C1B1ADCBF要求要求：

1、各人思考；

2、小组讨论；

3、小组交流展示；

4、总结。

A1D1C1CB1BDAPF如图：

延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。

F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB,又DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD,故DBA=600,P=ABP=300,DBP=900,即PBDB；

又因为是直棱柱，DD1PB,PB面DD1B,故DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。

显然BD=AD=DD1,DBD1=450。

即为所求.解毕。

解法一：

A1D1C1B1FADCBPE解法二：

解法二：

延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；

因为是直棱柱，所以AA1底面ABCD,过A做AEPB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EFPB,AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；

同解法一可知，等腰APB,P=300，RtAPB中，可求得AE=1，（设四棱柱的棱长为2）又AF=1,AEF=450，即为所求。

思考思考：

这种解法同解法一有什么异同？

解法三：

法向量法：

建系如图：

设这个四棱柱各棱长均为2.则D（0，0，0）D1（0，0，2）B（1，0）F（-1，1）=（-2，0，1）=（1，-2）显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量=（x0,y0,z0）。

则且2x0+0y0-z0=0且x0+y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,y0=,即=（1，2）设所求二面角的平面角为，则COS=,所以所求二面角大小为450解毕A1D1C1B1ABCDxyzF解法四：

解法四：

A1D1C1B1FCBDA如图：

由题意可知，这是一个直四棱柱，BFD1在底面上的射影三角形就是ABD,故由射影面积关系可得COS=ABDB1（是所求二面角的平面角）以下求面积略。

点评：

这种解法叫做“射影面积法”在选择和填空题中有时候用起来会很好三垂线法三垂线法NMAP三垂线法三垂线法BACDP点点O在二面角内在二面角内垂面法垂面法ABCDA1B1C1D1MABCDA1B1C1D1MM例例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥年江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，中，侧面侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公是公共的斜边，且共的斜边，且AD，BDCD1，另一个，另一个侧面是正三角形，求二面角侧面是正三角形，求二面角BACD的大小的大小.ABCDNPEDACBD1A1C1B1F例例2.正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1，P是是AD的中点的中点,求二面角求二面角ABD1P的大小的大小.例例3、（高考题高考题）ABC中，中，ABBC，SA平面平面ABC，DE垂直平分垂直平分SC，又又SAAB，SBBC,

（1）求证：

）求证：

SC平面平面BDE,

（2）求二面角求二面角EBDC的大小的大小?

SABCEDSABCEDABDCA1B1D1C1在在正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，求二面角求二面角D1ACD的大小？

的大小？

O总一总总一总：

求二面角的方法你都学会了哪些？

每一种方法在使用上要注意什么问题？

请同学们先自己思考，然后小组内交流学习一下。

二面角的几种主要常用的求法：

11、垂面法、垂面法。

见例一和例二的解法一；

22、三垂线法。

、三垂线法。

见例二的解法二；

33、射影面积法。

、射影面积法。

见例二的解法三；

44、法向量夹角法。

、法向量夹角法。

见例二的解法四。

其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法，也称为直接法；

射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为间接法。

这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；

尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：

1、合理建系合理建系。

本着“左右对称左右对称就地取就地取材材”的建系原则。

2、视图取角视图取角。

由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小，我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。

点点评评试一试：

SAECBD请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：

规范训练一规范训练一1、（本小题为2007年山东高考试卷理科19题）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知：

DC=DC1=2AD=2AB,ADDC,AB/DC（）设E是DC的中点，求证：

D1E/平面A1BD；

（）求二面角A1-BD-C1余弦值。

规范训练二：

2、（本小题为2008年山东高考理科试卷20题）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD,ABC=600，E、F分别是BC、PC的中点（）证明：

AEPD；

（）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值1.四棱锥四棱锥P-ABCD的底面的底面是边长为是边长为4的正方形，的正方形，PD面面ABCD，PD=6，M,N是是PB,AB的中点，求的中点，求二面角二面角MDNC的平的平面角的正切值面角的正切值？

NPDABCM作业：

PDCl