华科统计学课件双学位ch06统计推断优质PPT.ppt

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n参数估计，通常又可分为点估计和区间估计两种。

n估计置信度估计置信度。

又称估计的概率保证程度，或者说是估计的可信程度。

通常记为1-。

其中，称为风险概率。

n抽样极限误差抽样极限误差。

又称允许误差范围。

是指在某种概率条件下，估计值与参数真值的离差绝对值，记为（6.1.1）愈小，表明估计的准确度愈高，反之，准确度愈低。

如果=0，则表明估计无偏误。

设估计置信度为1-，则与估计置信度的关系为：

（6.1.2）n抽样均方误差抽样均方误差MSE（）n所有可能的估计值与待估参数之间离差的平方的平均数（期望值）。

n估计量方差估计量方差D（）n估计量分布的方差。

n偏偏误误B（）系统性误差系统性误差n按照某一方案反复抽样，估计值的数学期望与估计参数之间的离差。

n抽样平均误差抽样平均误差n就是抽样估计量的标准差。

记为。

n（6.1.3）n由于在无偏条件下，n（6.1.4）n有n（6.1.5）n因此，又是抽样极限误差在各种概率条件下的标准差。

n当然，要计算，必须知道的分布。

估计量重置抽样（简单随机抽样）不重置抽样（简单随机抽样）样本平均数样本成数n若干估计量的抽样平均误差若干估计量的抽样平均误差（p120表表4-5）返回6.1.2点估计点估计Ch6统计推断统计推断6.1总体参数估计总体参数估计（new）n当总体X的分布函数F（X;

）为已知时，但它的参数为未知，若从总体中抽取一个样本X1,X2,X3,Xn，并直接以样本统计量，作为相应总体参数的估计量，则用该样本统计量，对所作的一个数值点的估计，就称为点估计。

点估计记为点估计是样本变量的函数。

比如，用样本平均数估计总体平均数，用样本的方差估计总体方差，等等，都是点估计。

点估计又叫定值估计。

n未知参数与样本统计量Zn=Z（X1,X2,X3,Xn）之间，一般都存在某种变换关系=f（Zn）.（6.1.2）6.1.2点估计点估计Ch6统计推断统计推断6.1总体参数估计总体参数估计（new）n【例6-1】设某灯泡的寿命XN

（2），2为未知，今随机取的4只灯泡，测得寿命数据为1502，1453，1367，1650。

试估计和。

n解：

因为是全体灯泡的平均寿命，为样本的平均寿命，因此，可用样本平均数估计总体平均数，用样本的方差S2估计总体方差2。

n于是，和的估计值分别为1493和118.61。

返回6.1.3优良估计量的标准优良估计量的标准Ch6统计推断统计推断6.1总体参数估计总体参数估计（new）n作为优良的估计量，一般至少应该满足以下三个标准：

n一致性一致性。

n如果估计是一致的，那么对于任意小的数0，有n（6.1.3）n无偏性无偏性。

n如果有关系式（6.1.4）n成立，那么是的无偏估计。

n如果有关系式（6.1.5）n成立，那么则称是渐近无偏的。

n有效性有效性。

n如果和都是的无偏估计量，但如果n（6.1.9）n则称相对于是更有效的估计量。

n【例6-2】如果X1,X2,X3,Xn1来自同一总体X，且是相互独立，若总体X的k阶原点矩E（Xk）k存在，且总体X的k阶中心矩D（Xk）2k-k2=mk也存在，按照随机收敛的定义，当n时，有n因此，样本k阶原点矩Ak，是总体k阶原点矩k的一致估计；

样本k阶中心矩Bk，是总体k阶中心矩mk的一致估计。

n于是，样本平均数是总体平均数的一致估计，样本方差是总体方差的一致估计。

n【例6-3】设总体X的k阶矩k=E（Xk）存在，又设X1,X2,X3,Xn是X的样本。

试证明，不论X服从什么分布，k阶样本矩是k阶总体矩k的无偏估计。

n证明：

X1,X2,X3,Xn1与X同分布，故有nE（Xik）=E（Xk）=k,.i=1,2,.,n.n即有n（6.1.6）n特别的，不论X服从什么分布，只要它的数学期望存在，总是总体X的数学期望1=E（X）的无偏估计量。

n【例6-4】对于均值，方差2都存在的总体，若，2均未知，则2的估计量（6.1.7）n是有偏误的（即不是无偏估计）。

n由（6.1.6），有E（A2）=2=2+2,.n又n故n所以是有偏的。

n相反，可证样本方差（p144）（6.1.8）n是2的无偏估计。

因此，一般都取S2作为方差2的估计量。

返回6.1.4总体参数的区间估计总体参数的区间估计n置信区间置信区间n总体X的分布函数F（X;

），含有一个未知参数。

对于给定的030为大样本。

根据中心极限定理，有n取Z为样本统计量，于是总体均值的置信度为1-的置信区间为n由1-=0.95，=0.05，Z/2=1.96，=26，得全体学生平均每天的锻炼时间n即为（24.824,27.176）。

n【例6-7】某大学从该校中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加锻炼的时间为26分钟。

假定总体XN

（2），总体方差2未知，但已知样本方差S2=34。

试以95%的置信水平，估计该大学全体学生平均每天参加锻炼的时间。

因为总体XN

（2），不知2，但已知样本方差S2=34。

根据抽样定理，有n取t为样本统计量，于是总体均值的置信度为1-的置信区间为n由1-=0.95，=0.05，t/2（n-1）=1.984，=26，得全体学生平均每天的锻炼时间n即为（24.84,27.16）。

n教材（P140）

【例5-2】麦当劳餐厅在7星期内抽查了49位顾客的消费额（略）。

试以90%的概率保证，估计顾客平均消费的区间。

设顾客平均消费为，并且假设总体2=9.452。

因为是大样本，根据中心极限定理，有与样本平均数有关的n取Z为样本统计量，则有的置信度为1-的置信区间n由1-=0.90，=0.10，Z/2=1.645，=32，得顾客平均消费的区间n即为（29.77925,34.22075）。

设顾客平均消费为。

因为总体2是不知的，但可计算样本方差S2=9.452。

根据抽样定理，有与样本平均数有关的n取t为样本统计量，则有的置信度为1-的置信区间n由1-=0.90，=0.10，t/2（n-1）=1.6776，=32，S=9.45，得顾客平均消费的区间n即为（29.73542,34.26476）。

n教材（P141）

【例5-3】某乡水稻总面积20000亩，以不重置抽样方法从中随机抽取400亩，实割实测求得样本平均亩产645公斤，标准差为72.6公斤。

要求极限误差不超过7.2公斤，试对该乡水稻的亩产和总产量做估计。

设平均亩产为。

虽然总体2是不知的，但可计算样本方差S2=72.62。

根据抽样定理，有与样本平均数有关的n取t为样本统计量，则有的置信度为1-的置信区间n也即n因为=645，=7.2，得平均亩产的区间n645-7.2=637.8645+7.2=652.2n由以下关系式计算区间（637.830是大样本，根据中心极限定理，t/2Z/2，f（t/2）f（Z/2），1-=F（t/2）F（Z/2），查标准正态分布表求得1-=F（Z/2）=F

（2）=0.9545。

即平均亩产n637.850的大样本，它来自（0,1）分布的总体X，X的均值为P，方差为P（1-P），其中P就是总体成数，是一个未知参数。

求P的置信度为1-的置信区间。

已知（0,1）分布均值和方差为n=P，2=P（1-P）。

（6.1.32）n设X1,X2,X3,Xn是来自X的样本，样本成数p是P的无偏估计。

因样本容量较大，由中心极限定理有n（6.1.33）n样本统计量Z是不依赖于任何未知参数的。

于是有n（6.1.34）n而不等式n（6.1.35）n等价于n（6.1.36）n记n（6.1.37）n解不等式（6.1.36）n（6.1.38）即n于是，就得到了P的近似的、置信度为1-的不对称区间（P1,P2）。

n【例6-8】自一大批产品的100个样品中，得一级品60个。

求这批产品的一级品率P的置信度为0.95的置信区间。

一级品率P是（0,1）分布的参数，在大样本条件下，有中心极限定理n也即n于是有置信度为1-的不对称区间（P1,P2）n代入数据n=100，p=60/100=0.6，1-=0.95，/2=0.025，Z/2=1.96，nn求得P1=0.50，P2=0.69。

故P的置信度为0.95的近似不对称区间是（0.50,0.69）。

n有时解不等式比较麻烦。

nn因此教材（P142）对其进行了简化nn再解不等式n也即n得总体成数P的置信度为1-的对称区间n估计允许误差n教材（P142）

【例5-4】。

在一项新广告的跟踪调查中，在被调查的400人中有240人记的广告标语。

求记的广告标语占总体比率95%为置信度的估计区间。

在大样本条件下，有中心极限定理有nn也即n简化式n再解不等式n得总体比率P的置信度为1-的对称区间n代入数据p=240/400=0.6;

n=400;

1-=0.95;

Z/2=1.96，于是有n教材（P143）

【例5-5】。

估计某市居民住户电视机普及率。

随机抽取900户居民，其中有675户有电视机。

要求极限抽样误差不超过2.8%，试对该市居民住户电视机普及率进行区间估计。

在大样本条件下，有中心极限定理有nn也即n简化式n再解不等式n得居民住户电视机普及率P的置信度为1-的对称区间n也即n代入数据p=675/900=0.75;

=0.028；

于是有n另外由n查正态分布表得1-=F（Z/2）=F（2.0）=0.9545;

n即该市居民住户电视机普及率在（0.722,0.778）之间的可靠性概率为95.45%。

返回6.1.7总体方差的估计总体方差的估计Ch6统计推断统计推断6.1总体参数估计总体参数估计（new）n总体方差也是表明总体数量特征的重要指标。

很多情况，需要利用抽样的方法，来估计总体方差。

通常是，以样本方差S2来估计总体方差2，即n但这只是点估计，更多的是求它的区间估计。

n设总体XN

（2），2均为未