连续型随机变量及其概率密度函数PPT课件下载推荐.ppt

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X的概率的概率直方图：

直方图：

（1）定义的引出定义的引出若若X为连续型随机变量，由于为连续型随机变量，由于X在在a,b内连续内连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线而且：

而且：

XaP.b由此推出连续由此推出连续型随机变量型随机变量的定义的定义P（A）=0A=；

简称为简称为概率密度概率密度或或密度密度.对于随机变量对于随机变量X的分布函数的分布函数F（x）,若存在非负若存在非负可积函数可积函数f（x），使得对任意使得对任意实数实数x，有，有则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量，由由定义定义称称f（x）为为X的的概率密度函数概率密度函数，定义定义1（P40.定义定义）密度函数的基本特性：

密度函数的基本特性：

（1）f（x）0；

=1-01；

（2）（3）（4）（5）=0判定一个函数判定一个函数f（x）为为某连续型随机变量的某连续型随机变量的概率密度的充要条件概率密度的充要条件独点独点概率概率非负性非负性规范性规范性可微性可微性概率概率公式公式yOxy=f（x）面积为面积为1x1x2若若f（x）在点在点x处连续，处连续，则则P（X=x0）=0.P（aXb）=P（aXb）=P（aXb）=P（aXb）几乎不可能事件几乎不可能事件几乎必然事件几乎必然事件P（B）=1B=.X取值于取值于（x,x+x的概率的概率=其密度在此区间上的积分其密度在此区间上的积分可积可积连续型的分布函数必连续连续型的分布函数必连续一、一、连续随机变量及其分布密度连续随机变量及其分布密度P（x11000），所以所以不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。

不可能事件。

同样：

必然事件的概率为必然事件的概率为1，但概率为，但概率为1的事件不一定是必然的事件不一定是必然事件。

事件。

若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量，X=a是不可能事件，则有是不可能事件，则有若若X为离散型随机变量为离散型随机变量,注意注意连连续续型型离离散散型型分布函数分布函数F（x）的函数值表示随机变量的函数值表示随机变量X在右闭无穷在右闭无穷区间区间（,x上的取值概率上的取值概率,即即只要函数只要函数F（x）是随机变量是随机变量X的分布函数的分布函数,那就必有那就必有不过离散变量的分布函数不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数仅是右连续的函数;

连续变量的分连续变量的分布函数却是实轴上处处连续的函数布函数却是实轴上处处连续的函数.要要点点重重申申“连续随机变量的点概为零连续随机变量的点概为零”,即连续型随机变量即连续型随机变量X在其任一可取点处的取值概率恒等于零在其任一可取点处的取值概率恒等于零;

但但“离散随机变离散随机变量的点概不尽为零量的点概不尽为零”,因为后者在其任一可取之点处的取因为后者在其任一可取之点处的取值概率肯定不为零值概率肯定不为零.并且概率密度并且概率密度f（x）也满足所谓的归一性也满足所谓的归一性,也就是也就是只有连续型随机变量只有连续型随机变量X才存在概率密度才存在概率密度f（x）,它与它与分布函数分布函数F（x）的相互关系是的相互关系是要要点点重重申申连续变量的点概为零说明连续变量的点概为零说明:

不可能事件的概率为零不可能事件的概率为零;

但概率为零的事件不尽为不可能事件但概率为零的事件不尽为不可能事件.连续随机变量连续随机变量X在任何区间上的取值概率与区间在任何区间上的取值概率与区间的开闭与否无关的开闭与否无关,它恒等于概率密度在该区间上的积分，它恒等于概率密度在该区间上的积分，即即但离散随机变量但离散随机变量X在区间上的取值概率与区间的开在区间上的取值概率与区间的开与闭有关与闭有关:

区间开时应去掉开点的点概区间开时应去掉开点的点概;

区间闭时应包括区间闭时应包括闭点的点概，例如闭点的点概，例如Px1Xx2Px1Xx2=F（x2）F（x1）PX=x1Px1Xx2=F（x2）F（x1）要要点点重重申申例例1设设求常数求常数K解解由性质由性质解之得解之得得得例例2设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度求求常数常数A；

概率概率分布函数分布函数解解例例3设连续随机变量设连续随机变量X的概率密度的概率密度解解试试求求概概率率

（1）;

（2）.解解:

【练习练习】得得【练习练习】设随机变量设随机变量具有概率密度具有概率密度

（1）确定常数确定常数

（2）求求的的分布函数分布函数（3）求求设随机变量设随机变量具有概率密度具有概率密度

（1）确定常数确定常数【练习练习】

（2）求求的分布函数的分布函数（3）求求解解

（1）由由得得解得解得于是于是的的概率密度为概率密度为其它其它.

（2）或或（3）例例4设随机变量设随机变量K的概率密度为的概率密度为试求方程试求方程有实根的概率有实根的概率.解解方程要有实根方程要有实根,则根的判别式则根的判别式0,即有即有可见可见或或于是于是,所求的概率为所求的概率为密度函数密度函数例例5连续随机变量连续随机变量X的分布函数为的分布函数为解解F（x）显显然然应应是是x的的连连续续函函数数。

于于是是，由由函函数数在在0和和1处处的连续性即得，的连续性即得，A=B，B=1A，可见，可见A=B=1/2；

概率概率PX1/3=Aex，x0F（x）=B，0x11Ae（x1），x1试求试求A、B的值；

的值；

X的密度函数；

的密度函数；

PX1/3。

1PX1/3=1F（1/3）=11/2=1/2.ex/2，x00，0x1e（x1）/2，x1【练习练习】故有故有解解

（1）因为因为X是连续型随机变量是连续型随机变量,=例例6某药品的有效期某药品的有效期X以天计算，其概率密度为以天计算，其概率密度为解解分布函数分布函数20000/（x100）3，x0f（x）=0，其它其它试求试求X的分布函数；

的分布函数；

有效期至少为有效期至少为200天天的概率。

的概率。

=有效期至少为有效期至少为200天天的概率的概率PX200=1PX200=1PX200=1F（200）=1/9.分分布布函函数数法法例例6某药品的有效期某药品的有效期X以天计算，其概率密度为以天计算，其概率密度为20000/（x100）3，x0f（x）=0，其它其它试求试求X的分布函数；

有效期至少为有效期至少为200天天的概率的概率=1/9.密密度度函函数数法法PX200=例例6某药品的有效期某药品的有效期X以天计算，其概率密度为以天计算，其概率密度为20000/（x100）3，x0f（x）=0，其它其它试求试求X的分布函数；

三、三、三大连续分布密度三大连续分布密度指数分布指数分布E（）在寿命、可靠性与排队理论中应用广泛且富在寿命、可靠性与排队理论中应用广泛且富“无无记忆性记忆性”从而赢得从而赢得“永远年轻永远年轻”之美誉的分布之美誉的分布.均匀分布均匀分布R（a,b）或或U（a,b）在区间在区间（a,b）的任何子区间的任何子区间（c,d）内内,取值概取值概率直接等于子区间与母区间的长度比的分布率直接等于子区间与母区间的长度比的分布.正态分布正态分布N（，2）理论与实践中应用最广、且任何大容量的独立随理论与实践中应用最广、且任何大容量的独立随机变量之和必然近似服从的理论分布机变量之和必然近似服从的理论分布.三大连续分布的名称与符号三大连续分布的名称与符号显然，不同的均匀分布是根据两分布参数显然，不同的均匀分布是根据两分布参数a和和b的不同取值加以区分的。

的不同取值加以区分的。

1.均匀分布均匀分布R（a,b）若连续随机变量若连续随机变量X的密度函数具有形式的密度函数具有形式三、三、三大连续分布密度三大连续分布密度那么就称该随机变量那么就称该随机变量X服从均匀分布，也称服从均匀分布，也称X为均为均匀分布变量（简称均匀量），并记为匀分布变量（简称均匀量），并记为特征：

特征：

区间（区间（a，b）上的均匀量）上的均匀量X落在该区间上落在该区间上任何长度为任何长度为l的子区间内的概率皆为的子区间内的概率皆为:

Oxab密度函数密度函数f（x）的图的图象象f（x）l任取子区间任取子区间容易求出，均匀随机量容易求出，均匀随机量X的分布函数为的分布函数为F（x）=分布函数分布函数F（x）的图的图象象OxF（x）ab1F（x）=（xa）/（ba）F（x）=1F（x）=0均匀分布常见于下列情形：

均匀分布常见于下列情形：

如如在在数数值值计计算算中中，由由于于四四舍舍五五入入，小小数数点点后后某某一一位位小小数数引引入入的的误误差差，例例如如对对小小数数点点后后第第一一位位进进行行四四舍舍五五入入时时，那那么么一一般般认认为为误误差差服服从从（-0.5,0.5）上的均匀分布。

）上的均匀分布。

再者，假定班车每隔再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间可能性），故可以认为候车时间服从区间（0，a）上上的均匀分布的均匀分布例例某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车