洛必塔法则优质PPT.ppt

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6.2洛必达法则洛必达法则1小结小结思考题思考题作业作业6.2洛必达法则洛必达法则洛必达洛必达（LHospital）法国数学家法国数学家（1661-1705）第第6章章微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用6.2洛必达法则洛必达法则2其极限都不能直接利用极限运算法则来求其极限都不能直接利用极限运算法则来求.在第在第2.4节看到节看到,之商之商,那末极限那末极限型未定式型未定式.或或如如,意味着关于它的极限不能确定出一般的意味着关于它的极限不能确定出一般的未定未定不能确定不能确定.而并不是在确定的情况下关于它的极限而并不是在确定的情况下关于它的极限结论结论,两个无穷小之商或两个两个无穷小之商或两个无穷大无穷大两个函数两个函数f（x）与与F（x）都趋于零或趋于无穷大都趋于零或趋于无穷大,称为称为6.2洛必达法则洛必达法则3这一节介绍一个求未定式极限的有效方法这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将此方法的关键是将的计算问题转化为的计算问题转化为的计算的计算.其基本思想是由微积分著名其基本思想是由微积分著名先驱先驱,从而产生了简从而产生了简洛必达法则洛必达法则.后人对他的思想作了推广后人对他的思想作了推广,提出的提出的,17世纪的法国数学家世纪的法国数学家洛必达洛必达（LHospital）便而重要的便而重要的6.2洛必达法则洛必达法则4定理定理6.2设函数设函数f（x）及及F（x）满足条件满足条件:

@#@

（2）f（x）,F（x）在点在点a的邻域内可导的邻域内可导（点点a处可除外处可除外）,则则6.2洛必达法则洛必达法则5证证则由条件则由条件

（1）,必有必有可补充定义可补充定义若若f（x）,F（x）在点在点a连续连续,若若f（x）,F（x）在点在点a不连续不连续,任取点任取点x,f（x）,F（x）满足满足:

@#@1）在在a,x上连续上连续;@#@2）在在（a,x）内可导内可导,

（2）f（x）,F（x）在点在点a的邻域内可导的邻域内可导（点点a处可除外处可除外）,6.2洛必达法则洛必达法则6柯西定理柯西定理所以所以6.2洛必达法则洛必达法则7注注（多次用法则多次用法则）再求极限来确定未定式的值的方法称为再求极限来确定未定式的值的方法称为这种在一定条件下这种在一定条件下通过分子分母分别求导通过分子分母分别求导法则成立法则成立.洛必达洛必达法则法则.6.2洛必达法则洛必达法则8例例解解6.2洛必达法则洛必达法则9例例解解洛必达法则洛必达法则因为因为6.2洛必达法则洛必达法则10定理定理6.3则则证证则则等价于等价于用定理用定理6.2设设有有6.2洛必达法则洛必达法则11注注定理定理6.3仍仍成立成立;@#@例例解解6.2洛必达法则洛必达法则12解解先化简先化简6.2洛必达法则洛必达法则13例例解解注注例例解解n次次6.2洛必达法则洛必达法则14解解考研数学考研数学（三三,四四）填空填空4分分定理定理2.152.15有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.6.2洛必达法则洛必达法则15例例解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.注注用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性当导数比的极限不存在时当导数比的极限不存在时,不能断定函数不能断定函数其一其一其一其一,这时不能使用洛必达法则这时不能使用洛必达法则.比的极限不存在比的极限不存在,不存在不存在不存在不存在.6.2洛必达法则洛必达法则16可能永远得不到结果可能永远得不到结果!

@#@分子分子,分母有单项无理式时分母有单项无理式时,不能简化不能简化.如如其实其实:

@#@杜波塔托夫的一个著名例子杜波塔托夫的一个著名例子.其二其二其二其二用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性6.2洛必达法则洛必达法则17用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项才可能用法则才可能用法则,则可一直用下去则可一直用下去;@#@（3）每用完一次法则每用完一次法则,要将式子整理化简要将式子整理化简;@#@（4）为简化运算经常将法则与为简化运算经常将法则与等价无穷小等价无穷小及极限及极限

（2）在用法则之前在用法则之前,式子是否能先化简式子是否能先化简;@#@只要是只要是的其它性质结合使用的其它性质结合使用.（5）极限式中含有极限式中含有不能用不能用法则法则;@#@极限式中含有极限式中含有不能用不能用法则法则.6.2洛必达法则洛必达法则18例例解解原式原式分子分母分子分母同除以同除以x6.2洛必达法则洛必达法则19考研数学考研数学（二二）,解答题解答题,9分分解解洛洛洛洛求极限求极限6.2洛必达法则洛必达法则2009年考研数学年考研数学（三三）,填空题填空题,4分分解解6.2洛必达法则洛必达法则21考研数学考研数学（一、二、三一、二、三）,选择题选择题,4分分是等价无穷小是等价无穷小,则则解解洛洛洛洛6.2洛必达法则洛必达法则22考研数学考研数学（二二）10分分解解求极限求极限法一法一用法则用法则6.2洛必达法则洛必达法则23解解求极限求极限法二法二考研数学考研数学（二二）10分分6.2洛必达法则洛必达法则24解解考研数学二、三考研数学二、三（选择选择4分分）的可去间断点的个数为的可去间断点的个数为当当x取任何整数时取任何整数时,f（x）均无意义均无意义.故故f（x）的间断点有无穷多个的间断点有无穷多个,但可去间断点为但可去间断点为极限极限存在的点存在的点,故应是故应是的解的解洛洛洛洛洛洛6.2洛必达法则洛必达法则25例例解解关键关键将其它类型未定式化为洛必达法则可将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型解决的类型6.2洛必达法则洛必达法则26例例解解6.2洛必达法则洛必达法则27考研数学考研数学（三三,四四）8分分解解求求用法则用法则用法则用法则6.2洛必达法则洛必达法则28例例解解三、三、型未定式型未定式6.2洛必达法则洛必达法则29例例解解注注或写成或写成其中其中是指数函数是指数函数的一种表示方式的一种表示方式.exponent6.2洛必达法则洛必达法则30例例解解考研数学一考研数学一,5分分还有别的方法吗还有别的方法吗?

@#@6.2洛必达法则洛必达法则31均为正数均为正数.解解法一法一6.2洛必达法则洛必达法则32解解法二法二均为正数均为正数.6.2洛必达法则洛必达法则33考研数学考研数学（一一）,12分分设数列设数列xn满足满足（）（）证明证明存在存在,并求该极限并求该极限;@#@计算计算解解（）用归纳法证明用归纳法证明xn单调下降且有下界单调下降且有下界.设设则则所以所以xn单调下降且有下界单调下降且有下界,得得所以所以即即6.2洛必达法则洛必达法则34（）计算计算因为因为又由又由（）所以所以6.2洛必达法则洛必达法则35例例解解求求数列数列的极限的极限转化为函数的未定式的极限转化为函数的未定式的极限!

@#@由于由于是是中的一种中的一种特殊情况特殊情况,所以有所以有不能用洛必达法则不能用洛必达法则!

@#@6.2洛必达法则洛必达法则36四、小结四、小结一、一、二、二、三、三、注意注意但求某些未定式极限不要单一使用洛但求某些未定式极限不要单一使用洛应将所学方法综合运用应将所学方法综合运用.尤其是下述两种尤其是下述两种可使问题大大简化可使问题大大简化.各类未定式极限问题各类未定式极限问题,洛必达法则是最洛必达法则是最常用的工具常用的工具,必达法则必达法则,三三大大类类未未定定式式方法方法,6.2洛必达法则洛必达法则37

（1）存在极限为存在极限为非零的因子非零的因子,

（2）凡乘积或商的凡乘积或商的非零无穷小因式非零无穷小因式,务必记住常用的等价无穷小务必记住常用的等价无穷小.可根据积的极限可根据积的极限运算法则先求出其极限运算法则先求出其极限.可先用简单可先用简单形式的等价无穷小替换形式的等价无穷小替换.6.2洛必达法则洛必达法则38思考题思考题问上述做法是否正确问上述做法是否正确6.2洛必达法则洛必达法则39思考题解答思考题解答非非正确的做法是正确的做法是不一定存在不一定存在.6.2洛必达法则洛必达法则40作业作业习题习题6.2（2076.2（207页页）