拓扑学PPT推荐.ppt

拓扑学PPT推荐.ppt

《拓扑学PPT推荐.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《拓扑学PPT推荐.ppt（99页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

.定义定义1.1.3给定集合A,B,由A和B的公共元素构成的集合叫做A与B的交集,记作.用描述法表示就是:

而且.定义定义1.1.4给定集合A,B，把由属于A而不属于B的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作.用描述法表示是.而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先指定的或者是不言自明的.如果,称为A在B中的补集，记作.对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中，我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.图1.1.1观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:

这样做的好处在于将并集转化成互不相交的集合并集.该集合等式也可以用定义证明.集合中的运算律集合中的运算律设X是全集，A，B，C是X的子集，则以下运算律成立：

（1）交换律

（2）结合律（3）零元,单位元（4）吸收律（5）分配律（6）幂等律（7）对合律（8）对偶律（9）互补律以上运算定律由定义或作图不难验证,我们仅以对偶律的验证为例,其余读者自己完成.图1.1.2.图（a）中阴影部分表示,图（b）中右斜线表示，左斜线表示.由图1.1.2可得：

.定义定义1.1.5对给定的非空集合我们把由二元有序对（其中）构成的集合叫做X与Y的笛卡用描述法表示是:

尔积，记作其中x是第一个坐标,y是第二个坐标,X称为第一个坐标集,Y称为第二个坐标集.特别地，记为称为X的二重笛卡尔积.对于有序对及笛卡尔积，读者并不陌生，我们学过的笛卡尔直角坐标系中的点就是有序数对,因而整个直角坐标系平面就是集合R的二重笛卡尔积R2（R表示实数集合）.虽然对于任意给定集合,它们的元素不必有序,但我们可以把集合的元素串在一起,这样就可用线段或直线表示集合.进而将集合的笛卡尔积就可用“平面图形”直观的表现出来.例例1.1.1设由下面的图1.1.3很容易得（A-B）（C-D）图1.1.3该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.习题习题1.11.试判断下列关系式的正确与错误的元素.2.设都是集合，其中,证明：

如果,则3.设，即X有个互不相同的元素，X的幂集P（X）有多少个互不相同4.设，用列举法给出P（X）.5.设A，B是集合，证明的充要条件是,，的充要条件是.且6.设A，B都是集合,证明:

若，则.；

7.设某一个全集已经给定，证明若，并且，则8.设A，B，C，D是全集X的子集,试判断下列命题的正确性.若正确，给出证明，若不正确，给出反例.若，则若，则，9.设A，B，C表示集合，试用A，B，C及集合运算符号表示下面集合.，1.2关系关系,等价关系等价关系v重点：

熟悉关系像，逆关系，复合关系和重点：

熟悉关系像，逆关系，复合关系和等价关系的性质等价关系的性质v难点：

对命题演算知识的欠缺将影响性质难点：

对命题演算知识的欠缺将影响性质证明的严谨性证明的严谨性定义定义1.2.1设X,Y是两个集合,如果,即R是X的一个子集,则称R是从X到Y的与Y的笛卡尔积一个关系.定义定义1.2.2设R是从集合X到集合Y的一个关系,即.

（1）如果,则称x与y是R相关的,并且记作xRy;

则称Y的子集

（2）如果存在使得A的象集,或者称为集合A的R象,R（X）称为关系R的值域;

为集合A相对于关系R而言的象集,或者简单地称为集合（3）如果,则称X的子集:

存在使得为集合B相对于R称为关系R的定义域.的原象集,或者简单地称为集合B的原象,或者称为集合B的R原象,关系，一个是自身，一个是进行简单地考查.关系是一个外延十分广泛的概念.读者很快便会看到在数学学科中学过的映射，等价,运算，序等概念都是关系的特例，这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的，请读者自己对它定义定义1.2.3设R是从集合X到集合Y的一个关系,即,这时笛卡尔积的子集:

是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，因此当且仅当.显然，若，集合B相对于关系R-1的象集就是集合B相对于关系R的原象集.特别地关系R1的值域就是关关系R的定义域.集合定义定义1.2.4设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y到集合Z的一个关系,即存在使得是笛卡尔积.当且仅当存在使得因此显然，当且仅当系R与关系S的复合,记作的一个子集,即从到的一个关系,称此关系为关定理定理1.2.1设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的一个关系,则

（1）

（2）（3）证明：

（1）当且仅当,当且仅当,而这当且仅当,这又当且仅当于是我们证明了.

（2）和（3）的证明类似于

（1），可根据定义直接验证,请读者自己完成.定理定理1.2.2设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从A和B,我们有:

集合Y到集合Z的一个关系,则对于X中的任意两个子集

（1）

（2）（3）（4），仅当存在或存在，,当且仅当.,，证明

（1）当且仅当存在使得当且仅当存在或存在使得当且.或，当且仅当于是我们证明了.

（2）设，则存在使得即存在，使得因此（3）由于当且仅当存在使得当且仅当存在使得（存在使得当且仅当存在使得.），（4）设,即.因此存在，使得.此时假设，由于，因此，这与矛盾，因此因此存在，因此，定义定义1.2.5设X是一个集合,从集合X到集合X的一个称为恒同关系，或恒同、对角线.记作或.关系简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系:

定义定义1.2.6设R是集合X中的一个关系,如果即对于任意,有,则称关系R为自反的;

如果,即对于任何,如果,则则称关系R为对称的;

如果,即对于任何和不能同时成立,则称关系R为非对称的;

如果,即对于任何,如果，则，则称关系R是传递的.定义定义1.2.7设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个元素x,y,如果满足条件:

xRy,则称x与y是R等价的,或简称等价的;

对于每一个,集合X中的子集称为x的R等价类或等价类,记作或,并且任何一个都称为R等价类的一个代表元素;

（1）如果则,因而.由等价类组成的集合称为集合X相对于.等价关系R而言的商集,记作.定理定理1.2.3设R是非空集合X中的一个等价关系,则:

（2）对于任意或者，或者证明：

设由于R是自反的，所以，因此因而.有

（2）对于任意,如果,设,如图1.2.1,因此必,又由于R,又由于R是传递的,所以.是对称的,所以对于任何一个有，由上述以及R的传.，由定义即得.因此证明了递性可得同理可证.因此.例例1.2.1给出平面上的一个关系,的意义是指和到原点的距离相等,容易验证是平面上的一个等价关系.相对于等价关系而言的商集为，即商集是由单点集和以原点为中心的所有圆周组成的集合.习习题题1.21.设，,，.试求的值域，R的定义域.2.设R是从集合X到集合Y的一个关系,证明下列条件等价:

（1）对于任意，

（2）对于任意，.限制定义为，证明:

一个等价关系的限制仍是等价关系.3.设C是X上的一个关系，关系C在上的4.设R是集合X中的一个对称的，传递的关系.证明R是一个等价关系当且仅当R的定义域为X.5.设R1，R2是集合X中的两个等价关系，证明仍是集合X中的一个等价关系当且仅当.6.实数集合R中的一个关系定义为：

证明关系R是实数集合R上的一个等价关系，并且，即给出实数集R关于关系R的商集.给出1.3映映射射重点：

重点：

熟悉由映射所诱导的逆关系得所有性质难点：

难点：

对映射的逆关系性质的理解定义定义1.3.1设f是从集合X到集合Y的一个关系,即,如果对每一个使得果f满足：

（1）即对存在.使得xfy；

那么称关系f是从集合X到集合Y的一个映射.

（2）设,如果对于有xfy1和xfy2,则y1=y2.,则称关系f是从集合X到集合Y的一映射,并且记作换言之，设如定义定义1.3.2设X和Y是两个集合,即使得xfy的是从集合X到集合Y的映射,对每个唯一元素称为x的象或值,记作f（x），即y=f（x）;

（值得注意的是可以没有原象,也可以有不止一个原象不必是单元素集,有时也记作.x是y的一个原像.对于,如果存在使得xfy（即y是x的象）,则称由于映射是满足一定条件的关系，因此如果即f是从集合X到集合Y的映射，则都是有意义的.

（1）|存在,使得并称f（A）为A在映射f下的象.并称为B在映射f下的原象.

（2）（4）f（X）叫映射f的值域.（3）（Y）=X,即映射f的定义域是X.（6）f-1作为Y到X的关系有定义,但一般说来f-1不是一个从Y到X的映射.,则关系f和g的（5）如果Z是一个集合并且复合作为从X到Z的关系有定义.定理定理1.3.1设X、Y、Z都是集合，如果f是从集合X到集合Y的映射，g是从集合Y到集合Z的映射，则f和g关系的复合是从集合X到集合Z的映射，并且对于任何，有证明：

第一步验证复合关系是映射.再结合定理1.2.2（3）得

（1）由于，,因此根据定理1.2.1得.）（）（1111ZgfZgf-=o因此，.

（2）对,设使得因此，存在,使得由和得由和以及得因此，是从X到Z的映射.如果定理定理1.3.2设和是两个集合,，则

（2）（3）简单地说，设，则保持交，并，差运算.

（1）第二步证明,这由定理1.2.2（3）直接可证.证明：

（1）由于是关系的逆关系,因此由定理1.2.2直接可得

（2）由于是关系,由定理1.2.2可得,因此,这就证明了因此,因此得,由;

又设得,由）（1Bfx-（3）由于,当且仅当,当且仅当,当且仅当当且仅当,因此需要说明两点：

设，则f是保并运算.（见定理1.2.2）,但f不必是保交或保差运算;

其逆关系R-1是保并运算（见定理1.2.2）,但R-1不必是保差或保交运算.其中原因留给读者自己思考.对于一般关系定义定义1.3.3设X和Y是两个集合,.如果f（X）=Y，即对任意,存在使得（也就是xfy）,则称f是一个满射,或者称f为从X到Y上的映射;

如果对于X中任意互异的两点x1,x2一定有（换言之,如果,一定有x1=x2）.则称f是一个单射;

如果f即是一个单射又是一个满射,则称f是一个一一映射.的映射.并且当时，称f是一个取常值如果f（X）是一个单元素集，则称f是一个常值映射根据下面的定理1.3.3,一一映射又称为可逆映射.）,并且也是一一映射,此外还有如果f是个一一映射，则其逆关系f-1便是从Y到X的映射（因此可以写作定理定理1.3.3设X和Y是两个集合,又设.的映射，即证明了Y到X是从由定义1