微积分英文版2PPT课件下载推荐.ppt

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So取当时,implyso机动目录上页下页返回结束example:

ProveProof:

欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有机动目录上页下页返回结束3.左极限与右极限左极限与右极限左极限:

当时,有右极限:

当时,有定理定理3.机动目录上页下页返回结束Function讨论时的极限是否存在.SoNOTExist.机动目录上页下页返回结束2.6LimitTheorems极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证证:

因则有（其中为无穷小）于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.若机动目录上页下页返回结束为无穷小（详见详见P44）若且B0,则有证证:

因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束若则有说明说明:

可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论1.（C为常数）推论推论2.（n为正整数）设n次多项式试证证证:

机动目录上页下页返回结束为无穷小（详见详见P44）定理定理.若且B0,则有证证:

因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束x=3时分母为0!

例例.设有分式函数其中都是多项式,试证:

证证:

说明说明:

若不能直接用商的运算法则.例例.若机动目录上页下页返回结束example解解:

x=1时分母=0,分子0,但因机动目录上页下页返回结束例例.求求解解:

方法方法1则令原式方法方法2机动目录上页下页返回结束试确定常数a使解解:

令则故机动目录上页下页返回结束因此SqueezeTheoremnA）g（x）isboundedaboveandbelowbyf（x）andh（x）nB）thelimitoff（x）asxapproachesa=Landthelimitofh（x）asxapproachesa=LnTHENC）thelimitofg（x）asxapproachesa=L.n（WHYisthisuseful?

Sometimeswecantcalculatealimitofaspecificfunction,butweCANcalculatethelimitofotherfunctionsrightabove&

belowit!

）函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理.且机动目录上页下页返回结束圆扇形AOB的面积两个重要极限两个重要极限证证:

当即亦即时，显然有AOB的面积AOD的面积故有注注注目录上页下页返回结束example.calculate解解:

example.解解:

令则因此原式机动目录上页下页返回结束2.证证:

当时,设则机动目录上页下页返回结束CalculateCalculate2.7nLimitsInvolvingTrigonometricFunctionsLimitsoftrig.functionsSpecialtrigonometriclimitsEvaluatethelimit2.8nLimitsatInfinityLimitsatinfinitynf（x）hasalimitofLasxapproachesinfinity,ifforanyepsilon,youcanfindavalue（M）forx,suchthatallfunctionvaluesofxgreaterthanMarewithinepsilonofL.InfiniteLimitnWesayafunctionhasalimitofinfinity,ifasxgetsclosertoc,f（x）getslargerandlarger.（f（x）goestowardpositiveornegativeinfinity）定义极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小.1无穷小量例如:

是当时的无穷小量是当是当时的无穷小量时的无穷小量无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小量的性质定理在自变量的同一变化过程中

（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小；

（2）有限个无穷小的乘积仍是无穷小；

（3）有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小，特别地，常数与无穷小的乘积仍是无穷小为无穷小,又因为为有界量,因此当example解因为当时,时,为无穷小量，所以的某个变化过程中，若函数值的定义在自变量无限增大,则称无穷大量，简称无穷大无穷大量绝对值为在此变化过程中的如时,函数为无穷大量注意:

任何常数都不是无穷大DefinitionnLimitasx-Letfbedefinedonc,forsomenumberc.WesaythatIfforeachThereisacorrespondingnumberMsuchthatProveProveEvaluatethelimitexample解原式example解原式其中的极限，有下面结论：

一般地,对于有理函数（即两个多项式函数的商）第一章都是无穷小,引例引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.机动目录上页下页返回结束无穷小的比较49ComparisonofInfinitesimalDefinitionAssumethat定义定义.若则称是比高阶高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶低阶的无穷小;

则称是的同阶同阶无穷小;

则称是关于的k阶阶无穷小;

则称是的等价等价无穷小,记作机动目录上页下页返回结束例如例如,当时又如又如，故时是关于x的二阶无穷小,且机动目录上页下页返回结束例例.证明:

当时,证证:

机动目录上页下页返回结束定理定理1.证证:

即即例如例如,故机动目录上页下页返回结束定理定理2.设且存在,则证证:

例如例如,机动目录上页下页返回结束设对同一变化过程,为无穷小,说明说明:

无穷小的性质,

（1）和差取大规则和差取大规则:

由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o（）,

（2）和差代替规则和差代替规则:

例如,机动目录上页下页返回结束例如,（3）因式代替规则因式代替规则:

界,则例如,机动目录上页下页返回结束例例1.求解解:

原式例例2.求解解:

机动目录上页下页返回结束常用等价无穷小:

机动目录上页下页返回结束2.9nContinuityofFunctionsContinuityatapointnAfunctioniscontinuousatpointcif:

1）f（x）isdefinedatx=c:

f（c）exists2）Thelimitasxapproachescoff（x）exists3）f（c）=limitasxapproachescoff（x）可见,函数在点函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:

在的某邻域内有定义,则称函数

（1）在点即

（2）极限（3）设函数连续必须具备下列条件:

存在;

且有定义,存在;

机动目录上页下页返回结束continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.机动目录上页下页返回结束因此，我们可以认为，如果一个函数的图像在某一区间上是连续不断的，那么就称这个函数在这一区间上是连续的。

为了精确地描述函数连续的概念，先引进函数增量的概念。

在实数域内都是连续不断的。

1、函数的增量说明函数的连续性函数连续性的概念对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:

机动目录上页下页返回结束证明函数在内连续.证证:

即这说明在内连续.同样可证:

函数在内连续.机动目录上页下页返回结束Allpolynomialsarecontinuousforallrealnumbers.nAllrationalfunctionsarecontinuousforeverynumberinitsdomain.（i.e.f（x）=x/（x-1）isnotdefinedforx=1,butitiscontinuousforallothernumbers）在在函数的间断点函数的间断点

（1）函数

（2）函数