多元函数微分学--考试重点PPT推荐.ppt

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（1）定义中）定义中的方式是任意的；

的方式是任意的；

（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例11求极限求极限解解无穷小乘有界量仍是无穷小无穷小乘有界量仍是无穷小例例22解解定义定义3.设二元函数设二元函数定义在定义在D上上,如果函数在如果函数在D上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在D上上如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点.则称则称二元函数二元函数连续连续.连续连续,三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性练练习习二二求下列极限求下列极限练习二答案练习二答案四、偏导数四、偏导数1、解解例例1求求在点在点处的偏的偏导数数.例例22求函数求函数的偏导数的偏导数.解解22、高阶偏导数、高阶偏导数混合偏导混合偏导定义定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.解解例例33设设求求例例4.求函数求函数解解:

的二阶偏导数的二阶偏导数.五、全微分概念五、全微分概念例例5.计算函数计算函数在点在点（2,1）处的全微分处的全微分.解解:

例例6.计算函数计算函数的全微分的全微分.解解:

练练习习三三求求11、设、设22、已知、已知求求33、求求设设六、复合函数求导法则（链式法则）六、复合函数求导法则（链式法则）以上公式中的导数以上公式中的导数称为称为全导数全导数.解解解解例例9.设设求全导数求全导数解解:

练练习习四四隐函数的求导公式隐函数的求导公式七、隐函数的求导法则七、隐函数的求导法则解解令令则则解解令令则则1、设、设,求求练练习习五五2、求由方程、求由方程，求，求确定的隐函数确定的隐函数的偏导数的偏导数3、已知、已知八、多元函数的极值及其求法二元函数极值的概念二元函数极值的概念条件极值条件极值拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法1、二元函数的极值、二元函数的极值定义定义1设函数设函数在点在点的某一邻域的某一邻域内有定义内有定义,对于该邻域内异于对于该邻域内异于的任意一点的任意一点如果如果则称函数在则称函数在有有极大值极大值;

如果如果则称函数在则称函数在有有极小值极小值;

极大值、极大值、极小值统称为极小值统称为极值极值.使函数取得极值的点使函数取得极值的点称为称为极值点极值点.例例1函数函数在点在点处有极小值处有极小值.从几何上看从几何上看,表示一开口向上的表示一开口向上的从从椭圆抛物面椭圆抛物面,点点是它的顶点是它的顶点,如图如图

（1）.例例2函数函数在点在点处有极大值处有极大值.从几何上看从几何上看,一开口向下的一开口向下的半圆锥面半圆锥面,点点是它的顶点是它的顶点.如图如图

（2）.表示表示例例3函数函数无极值无极值.从几何上看从几何上看,它表示双曲抛物面它表示双曲抛物面（马鞍面马鞍面）.在点在点处处如图如图（3）.2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定理定理1（必要条件必要条件）设函数设函数在点在点具有偏导数具有偏导数,且在点且在点处有极值处有极值,的偏导数必然为零的偏导数必然为零,即即则它在该点则它在该点与一元函数的情形类似与一元函数的情形类似,对于多元函数对于多元函数,一阶偏导数同时为零的点称为函数的一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点驻点.凡是能使凡是能使可偏导的极值点一定是驻点可偏导的极值点一定是驻点（定理定理1），），但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点!

问题：

如何判定一个驻点是否为极值点？

注意：

时时,具有极值具有极值定理定理2（充分条件充分条件）的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:

1）当当A0时取极小值时取极小值.2）当当3）当当时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数例例4求函数求函数的极值的极值.解解先解方程组先解方程组解得驻点为解得驻点为再求出二阶偏导数再求出二阶偏导数在点在点（1,0）处处,故函数在该点处有极小值故函数在该点处有极小值又又故函数在该点处有极大值故函数在该点处有极大值又又在点在点处处,在点在点（1,2）处处,故函数在这两点处没有极值故函数在这两点处没有极值;

处处,33、多元函数的最值、多元函数的最值函数函数f在闭域上连续在闭域上连续函数函数f在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值最值可疑点最值可疑点驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点依据依据注：

注：

当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P时时,为极小为极小值值为最小为最小值值（大大）（大大）二、条件极值二、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:

条条件件极极值值:

对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制下面我们要介绍求解一般条件极值问题的下面我们要介绍求解一般条件极值问题的拉格拉格朗日乘子法朗日乘子法.拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法问题问题:

求目标函数求目标函数在所给条件在所给条件下的极值下的极值.下面介绍下面介绍拉格朗日函数拉格朗日函数即构造即构造将条件极值问题化为上述拉格朗日函数将条件极值问题化为上述拉格朗日函数拉格朗日乘数法来求解拉格朗日乘数法来求解,的无条件极值问题的无条件极值问题.再通过求解拉格朗日函数的再通过求解拉格朗日函数的无条件极值问题求得原问题的解无条件极值问题求得原问题的解.的方法的方法,就是就是拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法.这种求条件极值这种求条件极值例例5求表面积为求表面积为而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积.解解设长方体的三棱长为设长方体的三棱长为则问题就是在条件则问题就是在条件

（1）下下,求函数求函数的最大值的最大值.作拉格朗日函数作拉格朗日函数由由得唯一可能的极值点得唯一可能的极值点:

此点就是所求最大值点此点就是所求最大值点.即即,表面积为表面积为的长方体中的长方体中,方体的体积为最大方体的体积为最大,最大体积最大体积由问题本身意义知由问题本身意义知,以棱长为以棱长为的正的正解解则则练练习习六六1求函数求函数的极值的极值.解解先解方程组先解方程组解得驻点为解得驻点为再求出二阶偏导数再求出二阶偏导数在点在点（0,0）处处,故函数在该点处有极大值故函数在该点处有极大值又又在点在点（0,2）处处,故函数在该点处有极小值故函数在该点处有极小值又又在点在点（1,1）处处,故函数在该点处无极值；

故函数在该点处无极值；

在点在点（-1,1）处处,故函数在该点处无极值故函数在该点处无极值.2、（90，140）