图论图的基本概念第一章PPT文件格式下载.ppt

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A。

q元素可以重复出现的集合称为元素可以重复出现的集合称为多重集合多重集合或者或者多重集多重集，某元，某元素重复出现的次数称为该元素的素重复出现的次数称为该元素的重复度重复度。

例如例如在多重集合在多重集合a,a,b,b,b,c,d中，中，a,b,c,d的重复度分别为的重复度分别为2,3,1,12,3,1,1。

笛卡尔笛卡尔笛卡尔笛卡尔积积积积q设设AA，BB为任意的两个集合，称为任意的两个集合，称|aAbBAbB为为AA与与BB的的笛卡尔积笛卡尔积，记作，记作AXBAXB。

笛卡尔积笛卡尔积中的是有序对中的是有序对。

只有只有a,ba,b相等的时候才有相等的时候才有（a,b）（b,a）.）.也只有也只有A=BA=B时才有时才有AXBAXBBXABXA。

定义定义11一个一个无向图无向图是一个有序的二元组是一个有序的二元组,E,记作记作GG，其中其中（11）VV称为称为顶点集顶点集，其元素称为，其元素称为顶点顶点或或结点结点。

（22）EE称为称为边集边集，它是，它是无序积无序积V&

VV&

V的多重子集，其元素称为的多重子集，其元素称为无向无向边边，简称，简称边边。

定义定义22一个一个有向图有向图是一个有序的二元组是一个有序的二元组E，记作记作DD，其中其中（11）VV称为称为顶点集顶点集，其元素称为，其元素称为顶点顶点或或结点结点。

（22）EE为为边集边集，它是，它是笛卡儿积笛卡儿积VVVV的多重子集，其元素称为的多重子集，其元素称为有向有向边边，简称，简称边边。

无向图和有向图无向图和有向图无向图和有向图无向图和有向图说明说明q可以用图形表示图，即用小圆圈（或实心点）表示顶可以用图形表示图，即用小圆圈（或实心点）表示顶点，用顶点之间的连线表示无向边，用有方向的连线点，用顶点之间的连线表示无向边，用有方向的连线表示有向边。

表示有向边。

例例例例1.11.11.11.1例例1.11.1

（1）

（1）给定无向图给定无向图GG，其中其中VVvv11,v,v22,v,v33,v,v44,v,v55，E=（vE=（v11,v,v11）,（v）,（v11,v,v22）,（v）,（v22,v,v33）,（v）,（v22,v,v33）,（v）,（v22,v,v55）,（v）,（v11,v,v55）,（v）,（v44,v,v55）.）.

（2）

（2）给定有向图给定有向图D=D=，其中其中VVa,b,c,da,b,c,d，EE,。

画出画出GG与与DD的图形。

的图形。

图的一些概念和规定图的一些概念和规定图的一些概念和规定图的一些概念和规定qGG表示无向图，但有时用表示无向图，但有时用GG泛指图泛指图（无向的或有向的无向的或有向的）。

qDD只能表示有向图。

只能表示有向图。

qV（G）V（G），E（G）E（G）分别表示分别表示GG的的顶点集顶点集和和边集边集。

q若若|V（G）|V（G）|nn，则称则称GG为为nn阶图阶图。

q若若|V（G）|V（G）|与与|E（G）|E（G）|均为有限数，则称均为有限数，则称GG为为有限图有限图。

q若边集若边集E（G）E（G），则称则称GG为为零图零图，此时，又若，此时，又若GG为为nn阶图，则称阶图，则称GG为为nn阶零图阶零图，记作，记作NNnn，特别地，称特别地，称NN11为为平凡图平凡图。

q在图的定义中规定顶点集在图的定义中规定顶点集VV为非空集，但在图的运算中可能产为非空集，但在图的运算中可能产生顶点集为空集的运算结果，为此规定生顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图顶点集为空集的图为为空空图图，并将空图记为，并将空图记为。

标定图与非标定图、基图标定图与非标定图、基图标定图与非标定图、基图标定图与非标定图、基图q将图的集合定义转化成图形表示之后，常用将图的集合定义转化成图形表示之后，常用eekk表示表示无向边无向边（vvii,v,vjj）（或或有向边有向边），），并称并称顶点或边用字母标定顶点或边用字母标定的图的图为为标定图标定图，否则称为，否则称为非标定图非标定图。

q将有向图各将有向图各有向边均改成无向边后的无向图有向边均改成无向边后的无向图称为原来图的称为原来图的基图基图。

q易知标定图与非标定图是可以相互转化的易知标定图与非标定图是可以相互转化的;

任何无向图任何无向图GG的各边均加上箭头就可以得到以的各边均加上箭头就可以得到以GG为基图的有向图。

为基图的有向图。

关联与关联次数、环、孤立点关联与关联次数、环、孤立点关联与关联次数、环、孤立点关联与关联次数、环、孤立点q设设GG为无向图，为无向图，ek（vi,vj）E）E，称称vi,vj为为ek的端点的端点，ek与与vi或或ek与与vj是彼此相是彼此相关联关联的。

的。

若若vivj，则称则称ek与与vi或或ek与与vj的的关联次数为关联次数为11。

若若vivj，则称则称ek与与vi的的关联次数为关联次数为22，并称，并称ek为为环环。

任意的任意的vlVV，若若vlvi且且vlvj，则称则称ek与与vl的的关联次数为关联次数为00。

q设设DD为有向图，为有向图，ekEE，称称vi,vj为为ek的的端点。

端点。

若若vivj，则称则称ek为为DD中的中的环环。

q无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的顶点均称为无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的顶点均称为孤立孤立点点。

相邻与邻接相邻与邻接相邻与邻接相邻与邻接q设无向图设无向图GGVE，vi，vjVV，ek，elEE。

若若etEE，使得使得et（vi，vj），则称则称vi与与vj是是相邻的相邻的。

若若ek与与el至少有一个公共端点至少有一个公共端点，则称，则称ek与与el是是相邻的相邻的。

q设有向图设有向图DDVE，vi，vjVV，ek，elEE。

若若etEE，使得使得et，则称则称vi为为et的的始点始点，vj为为et的的终终点点，并称，并称vi邻接到邻接到vj，vj邻接于邻接于vi。

若若ek的终点为的终点为el的始点，则称的始点，则称ek与与el相邻相邻。

邻域邻域邻域邻域q设无向图设无向图G，vV，称称u|uV（u,v）Euv为为v的的邻域邻域，记做，记做NG（v）。

称称NGG（v）v为为v的的闭邻域闭邻域，记做，记做NG（v）（v）。

称称e|eEe与与v相关联相关联为为v的的关联集关联集，记做，记做IG（v）。

q设有向图设有向图D，vV，称称u|uVVEEuv为为v的的后继元集后继元集，记做，记做+D（v）v）。

称称u|uVVEEuv为为v的的先驱元集先驱元集，记做，记做-D（v）v）。

称称+DD（v）为为vv的出的出邻域邻域,-DD（v）为为vv的入的入邻域邻域.+DD（v）-DD（v）为为v的的邻域邻域，记做，记做ND（v）。

称称ND（v）v为为v的的闭邻域闭邻域，记做，记做ND（v）。

举例举例举例举例NNGG（v11）+D（d）v22，v55NG（v1）v11，v22，v55IIGG（v11）e11，e22，e33c-D（D（d）a，cNNDD（d）a，cNNDD（d）a，c，d简单图与多重图简单图与多重图简单图与多重图简单图与多重图定义定义1.31.3在无向图中，关联一对顶点的无向边如果在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于多于11条条，则，则称这些边为称这些边为平行边平行边，平行边的条数称为，平行边的条数称为重数重数。

在有向图中，关联一对顶点的有向边如果在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于多于11条条，并且这些，并且这些边的边的始点和终点相同始点和终点相同（也就是它们的方向相同也就是它们的方向相同），则称这些边，则称这些边为为平行边平行边。

含平行边的图称为含平行边的图称为多重图多重图。

既不含平行边也不含环的图既不含平行边也不含环的图称为称为简单图简单图。

例如：

在图在图1.11.1中，中，（a）a）中中ee55与与ee66是平行边，是平行边，（b）b）中中ee22与与ee33是平行边，但是平行边，但ee66与与ee77不是平行边。

不是平行边。

（a）a）和和（b）b）两个图都不是简单图。

两个图都不是简单图。

顶点的度数顶点的度数顶点的度数顶点的度数定义定义1.41.4设设GG为一无向图，为一无向图，vVV，称称v作为边的端点作为边的端点次数之和为次数之和为v的度数的度数，简称为，简称为度度，记做，记做dG（v）。

在不发生混淆时，简记为在不发生混淆时，简记为d（v）。

注注:

某个点上的环要计算某个点上的环要计算22次度数次度数.设设DDVE为有向图，为有向图，vVV，称称v作为边的始点次数之和为作为边的始点次数之和为v的出度的出度，记做，记做d+D（v），简记作简记作d+（v）。

称称v作为边的终点次数之和为作为边的终点次数之和为v的入度的入度，记做，记做d-D（v），简记作简记作d-（v）。

称称d+（v）+）+d-（v）为为vv的的度数度数，记做，记做d（v）。

某个点上的有向环要对这个点计算一次入度计算一次出度某个点上的有向环要对这个点计算一次入度计算一次出度.图的度数的相关概念图的度数的相关概念图的度数的相关概念图的度数的相关概念q在无向图在无向图GG中，中，最大度最大度（G）G）maxmaxd（v）|）|vV（G）V（G）最小度最小度（G）（G）mind（mind（v）|）|vV（G）V（G）q称度数为称度数为11的顶点为的顶点为悬挂顶点悬挂顶点，与它关联的边称为，与它关联的边称为悬挂边悬挂边。

度为偶数度为偶数（奇数奇数）的顶点称为的顶点称为偶度偶度（奇度奇度）顶点顶点。

q在有向图在有向图DD中，中，最大出度最大出度+（D）D）maxmaxd+（v）|）|vV（D）V（D）最小出度最小出度+（D）（D）minmind+（v）|）|vV（D）V（D）最大入度最大入度-（D）（D）maxmaxd-（v）|）|vV（D）V（D）最小入度最小入度-（D）（D）minmind-（v）|）|vV（D）V（D）图的度数举例图的度数举例图的度数举例图的度数举例d（v11）4（4（注意，环提供注意，环提供22度度），44，11，v44是悬挂顶点，是悬挂顶点，e77是悬挂边。

是悬挂边。

d+（a）44，d-（a）11（环环e11提供出度提供出度11，提供入度，提供入度1）1），d（a）4+14+155。

55，33，+4（4（在在a点达到点达到）+0（0（在在b点达到点达到）-3（3（在在b点达到点达到）-1（1（在在a和和c点达到点达到）握手定理握手定理握手定理握手定理定理定理1.11.1设设GG为任意无向图，为任意无向图，VVv11,v22,vn，|E|E|m，则则说明说明任何无向图中，各