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注注注注1:

1:

注注注注3:

3:

注注注注2:

2:

3几何解释：

几何解释：

xyOA。

f（x）局局部有界。

部有界。

此式表明此式表明f（x）在在内既有上界，内既有上界，又有下界，即又有下界，即:

42.极限的局部保号性极限的局部保号性定理定理定理定理1:

5由定理由定理1定理定理定理定理1:

定理定理定理定理2:

问题：

比较定理比较定理1、2，注意，注意“”和和“”，为什么？

，为什么？

63.左、右极限，函数极限存在的充分必要条件左、右极限，函数极限存在的充分必要条件左、右极限：

左、右极限：

7左、右极限的左、右极限的左、右极限的左、右极限的-定义定义定义定义:

左极限：

右极限：

注：

定理定理3经常用于判断极限不存在的情况。

经常用于判断极限不存在的情况。

极限存在的充要条件：

定理定理定理定理3333：

84.时函数时函数的极限的极限函数极限函数极限函数极限函数极限XX定义：

定义：

-描述性定义。

描述性定义。

9单边极限的定义单边极限的定义单边极限的定义单边极限的定义:

10的的水平渐近线水平渐近线。

水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线:

的图形的图形-1111定理定理定理定理:

证证（必要性）（必要性）则则即即当当当当即即（充分性）（充分性）则则取取则只要则只要恒有恒有126.数列极限与函数极限之间的关系数列极限与函数极限之间的关系若若存在，必有存在，必有存在。

存在。

反之，若反之，若不存在，不存在，一定不存在。

一定不存在。

数列是以正整数集为定义域的函数，即数列是以正整数集为定义域的函数，即因此数列的极限因此数列的极限可以看成是函数可以看成是函数当当自变量取正整数自变量取正整数n，并趋于正无穷大时的极限。

，并趋于正无穷大时的极限。

（1）

（2）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。

无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。

（3）收敛数列的有界性是整体概念，即若收敛数列的有界性是整体概念，即若存在，则对存在，则对而对于函数而对于函数存在，则只能推得函数在存在，则只能推得函数在的某个的某个邻域有界，即邻域有界，即13证证例例11用定义证明用定义证明二、例题二、例题二、例题二、例题用极限的定义证明用极限的定义证明函数的极限，关键函数的极限，关键是找到是找到P314难找，难找，对不等式对不等式适当放大适当放大15即即取取则当则当有有注：

用定义证明函数极限用定义证明函数极限的步骤的步骤取取由不等式由不等式经一系列地放大可得：

经一系列地放大可得：

（其中（其中C为常数）为常数）解不等式解不等式得得则当则当时，总有时，总有即即16例例33证明：

当证明：

当时，时，证证:

对于对于由于由于要使要使只要只要即即为保证为保证有定义，用有定义，用来限制。

来限制。

取取则当则当时，时，所以所以171证证例例418注：

（其中（其中C为常数）为常数）解不等式解不等式得得则当则当时，总有时，总有即即19例例5讨论函数讨论函数当当时，函数时，函数的极限的情况。

的极限的情况。

因为：

1-1而当而当从从的右边逼近于的右边逼近于时，函数值在时，函数值在-1与与1之间振荡，即之间振荡，即不存在。

不存在。

由定理由定理3知：

知：

20解：

解：

例例6（记录）记录）例例7证明证明不存在。

证证设设取取及及当当时，时，而而不存在。

（记录）记录）21注：

极限不存在的几种典型例子极限不存在的几种典型例子趋于趋于如：

如：

振荡，如：

左、右极限不相等，左、右极限不相等，单侧极限不相等，如：

单侧极限不相等，如：

所以，所以，不存在。

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