D6习题课PPT文件格式下载.ppt

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习题课1.定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面:

@#@面积、体积、弧长、表面积.物理方面物理方面:

@#@质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法基本方法:

@#@微元分析法微元形状:

@#@条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.机动目录上页下页返回结束定积分的应用第六六章3.3.解题步骤解题步骤例例1解：

@#@解：

@#@由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有例例2.求抛物线在（0,1）内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:

@#@设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积机动目录上页下页返回结束且为最小点.故所求切线为得0,1上的唯一驻点机动目录上页下页返回结束例例3.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形

（1）求函数

（2）a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解解:

@#@

（1）由方程得面积为2,体积最小?

@#@即故得机动目录上页下页返回结束又

（2）旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.机动目录上页下页返回结束例例4.证明曲边扇形绕极轴证证:

@#@先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元故旋转而成的体积为机动目录上页下页返回结束故所求旋转体体积为例例5.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解解:

@#@曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则机动目录上页下页返回结束例例6.半径为R,密度为的球沉入深为H（H2R）的水池底,水的密度多少功?

@#@解解:

@#@建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度机动目录上页下页返回结束因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束例例7.设有半径为R的半球形容器如图.

（1）以每秒a升的速度向空容器中注水,求水深为为h（0hR）时水面上升的速度.

（2）设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?

@#@解解:

@#@过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过t秒容器内水深为h,机动目录上页下页返回结束

（1）求由题设,经过t秒后容器内的水量为而高为h的球缺的体积为半球可看作半圆绕y轴旋转而成体积元素:

@#@故有两边对t求导,得at（升）,机动目录上页下页返回结束

（2）将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于微元体积:

@#@微元的重力:

@#@薄层所需的功元素故所求功为到池沿高度所需的功.机动目录上页下页返回结束例例8解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为