-数学建模-差分方程--混沌现象的起源PPT课件下载推荐.ppt

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寻找世界的本原问题；

人类在世界中的位置，即人类作为认识的主体在研究中的重要性。

了解哲学是从总体上、大局上把握世界；

把握研究的方向，不至于走入死胡同。

付里叶变换Fourier是法国大革命时期的数学家，他在频谱分析领域做有卓越的贡献。

在当时，拿破仑时代，科学界流行一种哲学：

世界是有“基元”组成的，任何一种物质只是基元的加权的代数和。

基元是什么？

运动是物质的一种存在形态，也应该具有一种相同的特性，即运动应由基元组成。

付里叶变换（续）Fourier通过研究“振动弦”的运动得出一个规律：

即振动弦的运动可以分解为多个“正弦”信号的和。

又通过对很多现象的研究，Fourier得出一个结论：

任何一个信号可以分解为多个“简谐周期函数”的加权和，而sin（x）、cos（x）是最简单的“简谐周期函数”。

付里叶变换（续）由此，付里叶得出如下的结论：

任意时间周期信号基元权值常量付里叶变换（续）从当时的角度（哲学观点）来看，是任何一个信号可以表示为“正弦”信号的加权和，符合哲学观点，推导正确。

当Fourier将论文提交给法国研究院，由Lagrange等三名数学家组成的委员会没有允许该论文的发表，原因是该数学推导不严格，Lagrange提出对于处处不可导的信号（函数）该理论不成立。

结论在世界是由基元组成这一哲学思想下，产生了一系列的十分有效的技术，可见哲学对研究的意义。

相反，如果没有一种哲学思想，我们的研究如何归纳总结出一种一般的规律？

总结出的规律正确与否？

马恩格思。

数学分析八讲两个重要的现象研究对象欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体：

一维空间：

线段，有长度，没有宽度；

二维空间：

平行四边形，有周长、面积；

三维空间：

球，表面积、体积；

自然界中很多的物体具有特征长度，诸如：

人有高度、山有海拔高度等。

研究对象有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出了这样一个问题：

英国的海岸线有多长？

英国的海岸线地图研究对象（续）当你用一把固定长度的直尺（没有刻度）来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。

因此，测得的长度是不精确的。

如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。

随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。

如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。

研究对象（续）得到的结论是：

海岸线的长度是多少：

决定与尺子的长短。

海岸线的长度是无限的！

而显然海岸线的面积为零；

而我们确实看到了海岸线的存在，而且海岸线应该是有界的。

海岸线什么有界？

（长度、面积、体积显然无界）。

Koch曲线Koch曲线（续）Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。

同样的道理：

长度无限、面积为零、而曲线还有“界”。

另外，有一个特点：

当取其中的一部分展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么东西的无数次的自我复制。

自然界中的其他事物取下一片蕨类植物叶子似乎与整体有某种相似性。

England的海岸线从视觉上也感觉有某种自相似性分形几何学的产生分形几何学的产生混沌的思想混沌-由一定的非線性作用導致，在確定性系統中出現極其複雜、貌似無規的運動。

混沌的产生下面是著名的洛伦兹吸引子。

洛伦兹（E.N.Lorenz）是当代世界知名的动力气象学家、混沌理论的少有几位创立者之一。

他在1963年发表的关于混沌理论的开创性研究在被冷落了12年之久以后才得到广泛承认，并很快引发对混沌研究的热潮，由此诞生和发展起了一门新兴学科混沌理论，成为现代新兴学科的代表。

洛伦兹吸引子方程如下：

Lorenz動力方程式dx/dt=-（xy）dy/dt=-xz+xydz/dt=xybzx,y,z:

速度、溫度、溫度梯度,b:

確定的控制參數運動軌跡確定性繞A、B兩點進入混沌進入混沌一维逻辑斯蒂映射一维逻辑斯蒂映射映射（mapping）也叫迭代（iteration）xn+1=2xn，若x1=3,则x2=6，x3=12。

从控制系统的角度看，这也叫反馈（feedback），把输出当作输入，不断滚动。

很容易想到，反馈的结果有若干种：

发散的、收敛的、周期的等等。

但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动类型?

是否存在既不收敛也不发散，也不周期循环的迭代过程?

这就是有界非周期运动，它与混沌有关这就是有界非周期运动，它与混沌有关差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型（Logistic模型模型）t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点（与与r大小无关大小无关）离散离散形式形式x（t）某种群某种群t时刻的数量时刻的数量（人口人口）yk某种群第某种群第k代的数量代的数量（人口人口）若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？

y*=N是平衡点是平衡点离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶（非线性非线性）差分方差分方程程

（1）的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换

（2）的平衡的平衡点点

（1）的平衡点的平衡点x*代数方程代数方程x=f（x）的根的根稳定性判断稳定性判断

（1）的近似线性方的近似线性方程程x*也是也是

（2）的平衡点的平衡点x*是是

（2）和和

（1）的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是

（2）和和

（1）的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性01的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不不稳定稳定另一平衡另一平衡点为点为x=0不稳定不稳定01/2101的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性初值初值x0=0.2数值计算结果数值计算结果b3.57,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b倍週期分岔進入混沌以生物種群繁衍為例Xn+1=aXn（1Xn）0Xn0Xn：

某一年的數量；

a：

控制參數，生殖率對初始條件的敏感依賴性差之毫釐，失之千里-蝴蝶效应蝴蝶效应Xn+1=aXn（1Xn），a=4疊代次數n初值x012503000.1999990.6399970.9216030.0017790.5975190.2000000.6400000.9216000.2517420.9871530.2000010.6400020.9615970.4216530.004008