拉普拉斯逆变换(D)PPT文档格式.ppt

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注注反演积分公式反演积分公式中的积分路径是中的积分路径是s平面上的一条直线平面上的一条直线cP227（9.16）式式一、一、反演积分公式反演积分公式Laplace逆变换公式逆变换公式2.反演积分公式反演积分公式根据上面的推导，得到如下的根据上面的推导，得到如下的Laplace变换对变换对:

5第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换二、二、求求Laplace逆变换的方法逆变换的方法1.留数法留数法利用留数计算反演积分。

利用留数计算反演积分。

则则设函数设函数除在半平面除在半平面内有有限个孤立奇点内有有限个孤立奇点定理定理且当且当时，时，外是解析的，外是解析的，证明证明（略略）P227定理定理9.2（进入证明进入证明?

）?

）6第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换二、二、求求Laplace逆变换的方法逆变换的方法2.查表法查表法此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。

此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。

利用利用Laplace变换的性质，并根据一些已知函数的变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace变换来求逆变换。

变换来求逆变换。

大多数情况下，象函数大多数情况下，象函数常常为常常为（真真）分式形式：

分式形式：

其中，其中，P（s）和和Q（s）是实系数多项式。

是实系数多项式。

由于真分式总能进行部分分式分解，由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用因此，利用查表法查表法很容易得到很容易得到象原函数。

象原函数。

常用常用（真分式的部分分式分解真分式的部分分式分解）7第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换二、二、求求Laplace逆变换的方法逆变换的方法2.查表法查表法几个常用的几个常用的Laplace逆变换的性质逆变换的性质8第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换二、二、求求Laplace逆变换的方法逆变换的方法2.查表法查表法几个常用函数的几个常用函数的Laplace逆变换逆变换9第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换

（1）（单根单根）解解方法一方法一利用利用查表法查表法求解求解有有

（2）由由2310第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换解解方法二方法二利用利用留数法留数法求解求解

（1）为为的一阶极点，的一阶极点，

（2）11第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换（重根重根）

（1）解解方法一方法一利用利用查表法查表法求解求解1-1-1有有

（2）由由P228例例9.1712第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换解解方法二方法二利用利用留数法留数法求解求解

（1）分别为分别为的一阶与二阶极点，的一阶与二阶极点，

（2）13第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换

（1）解解方法一方法一利用利用查表法查表法求解求解（复根复根）令令得得令令得得214第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换解解

（1）方法一方法一利用利用查表法查表法求解求解（重根重根）2

（2）由由得得15第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换解解方法二方法二利用利用留数法留数法求解求解（略讲略讲）

（1）为为的一阶极点，的一阶极点，

（2）16第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换解解方法一方法一利用利用查表法查表法求解求解方法二方法二利用利用留数法留数法求解求解分别为分别为的一阶与二阶极点，的一阶与二阶极点，17第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换轻松一下18第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换利用留数计算反演积分的定理证明利用留数计算反演积分的定理证明附：

附：

证明证明如图，作闭曲线如图，作闭曲线大时，可使大时，可使的所有奇点的所有奇点包含包含当当R充分充分在在C围成的区域内。

围成的区域内。

RLCR解析解析由留数定理有：

由留数定理有：

由若尔当引理由若尔当引理（5.3）,当当时，时，即得即得（返回返回）19第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换将上式两边同乘以将上式两边同乘以得得1.Q（s）含单重一阶因子的情况含单重一阶因子的情况若若Q（s）含单重一阶因子含单重一阶因子即即则则将实系数真分式将实系数真分式化为部分分式化为部分分式附：

令令即得即得20第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换2.Q（s）含多重一阶因子的情况含多重一阶因子的情况若若Q（s）含多重一阶因子含多重一阶因子即即则则将上式两边同乘以将上式两边同乘以得得将实系数真分式将实系数真分式化为部分分式化为部分分式附：

21第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换2.Q（s）含多重一阶因子的情况含多重一阶因子的情况两边逐次求导，并令两边逐次求导，并令即得即得令令即得即得将实系数真分式将实系数真分式化为部分分式化为部分分式附：

22第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换将实系数真分式将实系数真分式化为部分分式化为部分分式附：

上面讨论了上面讨论了含单重和多重一阶因子的情况，如果是含单重和多重一阶因子的情况，如果是在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。

在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。

但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。

即如果复数即如果复数为为的零点，那么它的共轭复数的零点，那么它的共轭复数也必为也必为的零点。

的零点。

因此，因此，必含有必含有（实的实的）由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。

下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。

二阶因子二阶因子23第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换则则将上式两边同乘以将上式两边同乘以得得3.Q（s）含单重二阶因子的情况含单重二阶因子的情况将实系数真分式将实系数真分式化为部分分式化为部分分式附：

若若Q（s）含单重二阶因子含单重二阶因子即即令令有有24第九章拉普拉斯变换9.3Laplace逆变换3.Q（s）含单重二阶因子的情况含单重二阶因子的情况将实系数真分式将实系数真分式化为部分分式化为部分分式附：

令令有有则则求出系数求出系数C和和D后，后，则则的逆变换不难得到：

的逆变换不难得到：

4.Q（s）含多重二阶因子的情况含多重二阶因子的情况（略略）（返回返回）