拉氏变换详解PPT课件下载推荐.ppt

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6（4）终值定理）终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。

的初值。

由微分定理，有证：

由微分定理，有等式两边对等式两边对s趋向于趋向于0取极限取极限7注：

若注：

若时时f（t）极限极限不存在，不存在，则不能用终值定理。

如对正弦函数和余弦则不能用终值定理。

如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。

函数就不能应用终值定理。

（5）初值定理：

初值定理：

证明方法同上。

只是要将证明方法同上。

只是要将取极限。

取极限。

（6）位移定理：

位移定理：

a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟迟，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以8b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以原函数应乘以即：

（7）时间比例尺定理时间比例尺定理原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。

样倍数。

9（8）卷积定理卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。

数的乘积。

即即证明：

证明：

1011二二.拉氏反变换拉氏反变换1.定义：

从象函数定义：

从象函数F（s）求原函数求原函数f（t）的运算的运算称为拉氏反变换。

记为称为拉氏反变换。

记为。

由由F（s）可按下式求出可按下式求出式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F（s）所有极点的所有极点的实部。

实部。

直接按上式求原函数太复杂，一般都用查直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F（s）必必须是一种能直接查到的原函数的形式。

须是一种能直接查到的原函数的形式。

12若若F（s）不能在表中直接找到原函数，则需要不能在表中直接找到原函数，则需要将将F（s）展开成若干部分分式之和，而这些部展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。

分分式的拉氏变换在表中可以查到。

例例1：

例例2：

求：

求的逆变换。

的逆变换。

解：

13例例3.142.拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法v

（1）情况一）情况一:

F（s）有不同极点有不同极点,这时这时,F（s）总能展开成如下简单的部分分式之和总能展开成如下简单的部分分式之和151617v

（2）情况）情况2:

F（s）有共轭极点有共轭极点例例2：

求解微分方程：

求解微分方程18v（3）情况）情况3:

F（s）有重极点有重极点,假若假若F（s）有有L重重极点极点,而其余极点均不相同。

而其余极点均不相同。

那么那么19202122v如果不记公式如果不记公式,可用以下方法求解可用以下方法求解也可也可得解。

得解。

233、线性定常微分方程的求解【例26P25】下图中，若已知L=1H,C=1F,r=1,U0（0）=0.1V,i（0）=0.1A,ui（t）=1V.试求电路突然接通电源时电容电压的变化规律。

rLCur（t）uc（t）i（t）24解：

已求得微分方程为拉氏变换得25代入得根据初值定理、终值定理26三三.传递函数传递函数1.定义：

零初始条件下，系统输出量的拉定义：

零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用的传递函数，用G（s）表示。

表示。

设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是27c（t）为系统的输出，为系统的输出，r（t）为系统输入，则零为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：

到系统传递函数为：

分母中分母中S的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次。

即为系统的阶次。

28因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以所以G（s）G（s）的分母次数大于等于分子次数，即的分母次数大于等于分子次数，即,若若mn,mn,我们就说这是物理不可实现的我们就说这是物理不可实现的系统。

系统。

是传递函数的极点极点。

的根是函数的零点零点，的根，称为传递是0）（）2,1（0）（）2,1（）（）（）（）（）（）（）（210210=-=sNnipssMmizspspspsazszszsbsNsMsGiinmLLLL292.性质性质

（1）传递函数与微分方程一一对应。

传递函数与微分方程一一对应。

（2）传递函数表征了系统本身的动态特性。

（传传递函数表征了系统本身的动态特性。

（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。

）有效地描述了系统的固有特性。

）（3）只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。

且内部许多中间变量的变化情况无法反映。

（4）如果存在零极点对消情况，传递函数就不能如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。

正确反映系统的动态特性了。

（5）只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。

不能反映非零初始条件引起的输出。

30例例1：

RC电路如图所示电路如图所示依据：

基尔霍夫定律依据：

基尔霍夫定律消去中间变量消去中间变量，则微分方程为：

则微分方程为：

31可用方框图表示可用方框图表示例例2.双双T网络网络对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：

对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：

32解：

方法一：

根据基尔霍夫定理列出下列微解：

根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：

分方程组：

方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：

3334方法二：

双方法二：

双T网络不可看成两网络不可看成两个个RC网络的串网络的串联，即：

联，即：

35传递函数的基本概念例例2-9P31求电枢控制式直流电动机的传递函数。

解已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：

方程两边求拉氏变换为：

令，得转速对电枢电压的传递函数：

令，得转速对负载力矩的传递函数：

最后利用叠加原理得转速表示为：

36372.4典型环节的特性典型环节的特性控制系统是由许多环节组成的，为控制系统是由许多环节组成的，为了研究控制系统的特性，有必要首先研了研究控制系统的特性，有必要首先研究其各个组成部分的特性，即研究究其各个组成部分的特性，即研究各个各个环节环节的特性。

的特性。

不同物理性质，不同结构用途的环不同物理性质，不同结构用途的环节可以表现出相同的动态特性，可以有节可以表现出相同的动态特性，可以有相同的数学模型，所以这里按相同的数学模型，所以这里按数学模型数学模型对环节进行分类。

对环节进行分类。

381、比例环节、比例环节

（1）微分方程）微分方程c（t）=Kr（t）K为常数为常数任意时刻，输出与输入成比例。

任意时刻，输出与输入成比例。

（2）传递函数）传递函数K为常数为常数（3）动态结构图）动态结构图（4）动态特性）动态特性r（t）=1（t）c（t）=K1（t）输出不失真，不延迟，成比例地输出不失真，不延迟，成比例地表现输入信号的变化。

表现输入信号的变化。

（迅速、准确地表现输入信号的变化）（迅速、准确地表现输入信号的变化）39（5）举例：

）举例：

a、工作于线性状态的电子放大器，其惯、工作于线性状态的电子放大器，其惯性很小可以近似地看成一个比例环节。

性很小可以近似地看成一个比例环节。

b、测速发电机空载时，它的输出电压与、测速发电机空载时，它的输出电压与输入转速成正比例关系。

带负载时，略去输入转速成正比例关系。

带负载时，略去其电枢反应和电刷与换相器的接触电压，其电枢反应和电刷与换相器的接触电压，仍近似地把它视为一个比例环节。

仍近似地把它视为一个比例环节。

402-4结构图结构图一一.结构图的概念和组成结构图的概念和组成v1.概念概念我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向。

在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。

这时Y（s）=G（s）X（s）的关系可以在结构图中体现出来。

定义定义：

表示变量之间数学关系的方块图称为函数结构图或方块图。

X（t）Y（t）电位器电位器例：

结构：

结构图：

微分方程：

y（t）=kx（t）若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。

X（s）G（s）=KY（s）41（3）比较点：

比较点：

综合点，相加点综合点，相加点加号常省略，负号必须标出加号常省略，负号必须标出（4）引出点：

引出点：

一条传递线上的信号处处相等一条传递线上的信号处处相等，引出点的信号与原信号相，引出点的信号与原信号相等。

等。

G（s）X（s）Y（s）2.组成组成

（1）方框：

有输入信号，输出信号，传递线，方方框：

有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。

上的信号处处相同。

（2）信号线：

带箭头的直线，箭头表示信号的流）信号线：

带箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数42结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-11例1利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。

不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。

根据电路定理，有以下式子：

-二二.结构图的绘制结构图的绘制43绘图：

绘图：

ui（s）为为输入，画在最左边。

输入，画在最左边。

这个例子不是由微分方程组这个例子不是由微分方程组代数方程组代数方程组结构图，而是直接列写结构图，而是直接列写s域中的代数方程，域中的代数方程，画出了结构图。

画出了结构图。

-44若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？

（刚才中间变量为刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为现在改为I,I1,I2）从右到左列方程：

从右到左列方程：

45这个结构与前一个不一样，这个结构与前一个不一样，选择不同的中选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。

输入输