《材料力学》05几何性质优质PPT.ppt

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用静矩表示：

（重心）（重心）平面重心坐标可由合力矩定理给出：

平面重心坐标可由合力矩定理给出：

11/4/20224yz三三.性质性质：

1.若物体有对称点、线、面，若物体有对称点、线、面，（合（合之之静矩静矩之和）静矩静矩之和）形心坐标形心坐标图形对图形对z轴的静矩为零轴的静矩为零2.z轴过形心轴过形心3.静矩可分割组合静矩可分割组合A1A2则其形心即在该点、线、面上则其形心即在该点、线、面上）（代数式11/4/20225zy4040试确定下图形心试确定下图形心解解：

按组合图形解按组合图形解1.正面积法，图形分割为三正面积法，图形分割为三图（a）例例C1（y为对称轴）402020C3C2mm11/4/202268080图图（b）2.负面积法，图形分割如图负面积法，图形分割如图（b）4040负面积负面积C2zyC1mm11/4/20227y例例三根三根10号号槽钢焊成一体，槽钢焊成一体，求整个截面的形心求整个截面的形心yy为对称轴，为对称轴，形心在形心在yy轴上轴上各种规格品种的型钢，几何尺寸、参数各种规格品种的型钢，几何尺寸、参数可查型钢表可查型钢表P370zcxxyy（形心形心）解解：

11/4/20228一一.定义定义zydAyzrr极惯性矩极惯性矩：

惯性积惯性积2惯性矩惯性矩惯性积惯性积极惯性矩极惯性矩（面积与到两轴面积与到两轴“距离距离”之积之积）惯性矩惯性矩：

（面积与其到轴面积与其到轴“距离距离”平方之积平方之积）（面积对极点的二次矩面积对极点的二次矩）MomentofInertiaProductofInertiaPolarInertiaMoment11/4/20229zy（对称轴）（对称轴）二二.性质性质：

1.zz说明说明：

两侧对称的面积微分两侧对称的面积微分显然该情况对全部图形都如此显然该情况对全部图形都如此2.I可分割组合可分割组合3.若若y、z之一之一是对称轴是对称轴yy则则Iyz=0y坐标同值同号，坐标同值同号，z坐标同值反号，坐标同值反号，积分中相互抵消：

积分中相互抵消：

11/4/202210例例求惯性矩求惯性矩（对称轴）（对称轴）yzh/2h/2b/2b/2解解：

dyy（注意：

若注意：

若不在以上位置不在以上位置，）z11/4/202211例例求惯性矩求惯性矩（对称轴）（对称轴）yzh/2h/2H/2H/2B/2B/2b/2b/2惯性积惯性积解解：

因二轴为因二轴为对称轴对称轴11/4/202212例例求图形惯性矩求图形惯性矩，求求,解解：

求求10107070606020两腰负面积两腰负面积图形分割为三：

图形分割为三：

图形仍分割为三：

11/4/202213一一.平行移轴公式平行移轴公式：

33平行移轴平行移轴转轴公式转轴公式移轴公式移轴公式zcyc（形心）（形心）C二坐标轴二坐标轴，相互平行相互平行，=+bzzC+=ayyC（）其一（其一（）原点在形心）原点在形心ParallelAxisRotationofAxis11/4/202214Note:

:

必须过形心必须过形心思考思考：

公式中公式中，与与是否可调换位置是否可调换位置？

移轴公式移轴公式11/4/2022152010020解解：

求形心位置位置100例例求图形对其形心轴的惯性矩求图形对其形心轴的惯性矩分割为二分割为二,求求Czc（yc）直接套用矩形公式直接套用矩形公式11/4/20221620100CC2求求C1但但zc不过二者形心不过二者形心平行移轴平行移轴20图形分割为二图形分割为二：

10011/4/202217解解：

例例两两16a型槽钢组合截面型槽钢组合截面，欲使欲使（加（加缀条缀条,螺钉或焊、铆接，螺钉或焊、铆接，成一整体承载）成一整体承载）xdxyybz0查查P370:

令令11/4/202218例例2求图示圆对其切线求图示圆对其切线ABAB的惯性矩的惯性矩。

解解：

此题求解此题求解两种方法：

两种方法：

一是按定义直接积分；

二是用平行移轴定理二是用平行移轴定理B建立形心坐标建立形心坐标,求图形对形心轴求图形对形心轴的惯性矩。

的惯性矩。

AdxyO11/4/202219y1z1绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转角角z1y1转轴公式转轴公式两坐标系两坐标系原点在同一点，原点在同一点，二二.转轴公式转轴公式z1y1z1y111/4/202220转轴公式转轴公式11/4/2022214主轴主轴形心主轴形心主轴主轴过形心，则称为主轴过形心，则称为形心主轴形心主轴定存在特殊角度的一对轴：

图形对该对轴定存在特殊角度的一对轴：

图形对该对轴的的惯性积等于零惯性积等于零.主惯性轴主惯性轴（简称（简称主轴主轴）图形对对主轴的惯性矩图形对对主轴的惯性矩主惯性矩主惯性矩（简称（简称主矩主矩）以任一点为原点，都有一对主轴以任一点为原点，都有一对主轴随角随角变化变化，是是的连续函数的连续函数，据定义可知据定义可知可正可负亦可为零可正可负亦可为零z1y1z1y1PrincipalAxisofInertiaCentroidPrincipleAxisofInertia11/4/202222图形另一形心主轴与其垂直且过形心图形另一形心主轴与其垂直且过形心.图形的对称轴必是形心主轴图形的对称轴必是形心主轴.（11.对称轴必过形心对称轴必过形心;

C（一对称轴一对称轴）（二对称轴二对称轴）CC2.图形关于对称轴的惯性积图形关于对称轴的惯性积=0）11/4/202223Thanks!

11/4/202224以任一点为原点，都有一对主轴。

以任一点为原点，都有一对主轴。

图形对对主轴的惯性矩图形对对主轴的惯性矩主惯性矩主惯性矩（简称（简称主矩主矩）一一.主轴和主矩主轴和主矩5主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩证明证明：

由上式可知：

随角随角变化，是变化，是的连续函数，又据惯性积定义的连续函数，又据惯性积定义可知可知可正可负亦可为零，可正可负亦可为零，定存在特殊角度的一对轴：

图形对该对轴的定存在特殊角度的一对轴：

图形对该对轴的惯性积等于零惯性积等于零。

这对轴这对轴主主惯性轴惯性轴（简称简称主轴主轴）可证明：

在图形对同一原点（不同角度）所有轴的惯性矩中，主矩可证明：

在图形对同一原点（不同角度）所有轴的惯性矩中，主矩定为极大（极小）定为极大（极小）11/4/202225二二.主轴和主矩的确定主轴和主矩的确定：

图形对该对轴的图形对该对轴的惯性积等于零惯性积等于零,（由于由于以以为周期为周期,公式可得二公式可得二,相差相差,说明二主轴成对出现说明二主轴成对出现,互相互相垂直垂直）再再代入转轴公式代入转轴公式:

11/4/202226求形心主惯性矩方法求形心主惯性矩方法求形心位置，过形心任选坐标系求形心位置，过形心任选坐标系求出求出，求形心主轴方向求形心主轴方向0求形心主惯性矩求形心主惯性矩平面图形对形心主轴之惯性矩，称为平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩三三.形心主轴和形心主惯性矩形心主轴和形心主惯性矩：

C形心主轴过形心时，称为主轴过形心时，称为形心主轴形心主轴。

11/4/202227一些特殊情况，图形的主轴和形心主轴，可不计算而直接判断出：

一些特殊情况，图形的主轴和形心主轴，可不计算而直接判断出：

（一对称轴）（二对称轴）CCC图形有一对称轴，该轴必是形心主轴图形有一对称轴，该轴必是形心主轴.另一与其垂直且过形心另一与其垂直且过形心.图形的对称轴必是形心主轴图形的对称轴必是形心主轴.（因：

因：

11.对称轴必过形心对称轴必过形心;

22.图形关于对称轴的惯性积图形关于对称轴的惯性积=0=0）11/4/202228例例3矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴（b=1.5d）解解：

建立坐标系如图。

求形心位置。

建立形心坐标系建立形心坐标系；

求求：

IyC，IxC，IxCydb2dxyOxCyCx111/4/202229db2dxCyCx1xyO11/4/202230yzzyyz10120801040102020404011/4/20223111试确定下图的形心试确定下图的形心解解：

组合图形，用正负面积法解组合图形，用正负面积法解1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图用正面积法求解，图形分割及坐标如图（a）801010120图（a）yzC1（0,0）C2（-35,60）C2C1例例11/4/2022322.用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图图（b）801010C1（0,0）C2（5,5）C1负面积yz12011/4/202233