广东省惠州市2011届高三第二次调研考试(理科数学)(参考答案及评分标准).doc
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广东省惠州市2011届高三第二次调研考试
数学试题（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一.选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（）
A． B．C．D．
2.在四边形中，，那么四边形为（）
A．平行四边形 B．菱形 C．长方形D．正方形
3.在等差数列中，若，则（）
是
否
k≤n
开始
S=1,k=1
结束
S=S×2
输出S
k=k+1
输入n
第5题图
A．B．C．1D．－1
4.给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（）
A．充分非必要条件.B．必要非充分条件.
C．充要条件.D．既非充分也非必要条件.
5.如右图所示的程序框图，若输入n=3，则输出结果是（）
A．B．C．D．
6.△ABC中，，则△ABC的面积等于（）
A． B．C． D．
7.从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有（）
A．140种B．120种C．35种D．34种
8.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图像大致是（）
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9.为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生名、名、名，若高三学生共抽取名，则高一学生抽取的人数是．
10.若，其中是虚数单位，则__________．
11.曲线在点处切线的方程为__________．
12.在的二项展开式中，的系数是___________．
A
B
C
D
甲
乙
A
B
C
D
E
F
甲
乙
将l向右平移
l
x
y
O
①
②
③
13.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：
如果与一固定直线平行的直线被、甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值，那么甲的面积是乙的面积的倍，你可以从给出的简单图形①（甲：
大矩形，乙：
小矩形）、②（甲：
大直角三角形，乙：
小直角三角形）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是与，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）
A
B
C
D
O
（第14题图）
14.（几何证明选讲选做题）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，AC和AD是⊙O的两条弦，AC=，AD=，
则∠CAD=．
15.（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本题满分12分）
已知向量
（1）若，求向量与的夹角；
（2）当时，求函数的最大值。
17.（本题满分12分）
如图，平面⊥平面，为正方形，，且分别是线段的中点．
（1）求证：
平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18.（本题满分14分）
某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：
两项技术指标都达标的零件为合格品．
（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；
（2）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．
19.（本题满分14分）
已知数列中，
（1）设，求证：
数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式
（3）设，求证：
数列的前项和．
20.（本题满分14分）
已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
21.（本题满分14分）
已知集合（其中为正常数）．
（1）设，求的取值范围；
（2）求证：
当时不等式对任意恒成立；
（3）求使不等式对任意恒成立的的范围。
惠州市2011届高三第二次调研考试
数学试题（理科）答案
一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
C
D
D
B
1．【解析】A为函数的定义域，于是A=，故,故选D。
2．【解析】平行四边形ABCD，又由于，故为菱形。
故选B.
3．【解析】，故。
故选A。
4．【解析】由于“直线与平面垂直”与“直线与平面内任意一条直线都垂直”互为充要条件，故“直线与平面垂直”可推出“直线与平面内无数条直线都垂直”，但反推不成立，故选B。
5．【解析】k=1累加至k=3，共执行循环体3次，故累乘至,故选C.
6．【解析】由正弦定理解得，故或；当时，，△ABC为Rt△，；当时，，△ABC为等腰三角形，，故选D。
B
D1
Q
G
P0
M
P
N
7．【解析】由题意，可分为三种情况：
1男3女，2男2女，3男1女，其选法分别为，故共有种选法，故选D。
8．【解析】取中点Q，中点G，中点，则过MN和的截面如图所示：
由图可知，P由B运动到P0过程中，y随x的增大而增大；P由P0运动到D1过程中，y随x的增大而减小，故排除A,C。
而P由B运动到P0过程中，为定值，故y为关于x的一次函数，图像为线段；后半段亦同理可得，故选B。
二.填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）
9．4010．311．12．1513．14．15．
9．【解析】设高一抽取x人，由分层抽样的等概率原则，，解得。
10．【解析】由得，故
11．【解析】由点斜式得切线方程：
，
整理得。
12．【解析】的二项展开的通项为，即，
令，得，故系数为。
13．【解析】由①②类比推理可知:
故
14．【解析】连结BC、BD，则∠ACB=∠ADB=，Rt△ABC中，
；
Rt△ABD中，；.∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=.
15．【解析】两圆的标准方程为，，
两圆心坐标为，由两点间的距离公式可得圆心距为。
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本题满分12分）
解：
（1）当，…………1分
…………3分
…………4分
…………5分
（2）
…………9分
， ，
故…………11分
…………12分
17．（本题满分12分）
（1）证明：
由于平面⊥平面,且平面∩平面=………1分
而即，且平面…………2分
由面面垂直的性质定理得：
平面…………4分
M
（2）解法一：
取BC的中点M，连结EM、FM，则FM//BD，
∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角。
………6分
设，则，
……8分
Rt△MAE中，，同理，又，………10分
∴△MFE中，由余弦定理得，……12分
y
z
x
解法二：
建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设,………6分
，，，，，，…………8分
∵，，…10分
∴……12分
18．（本题满分14分）
解：
（1）设M：
一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则：
A，B都不达标；
故……4分
（2）依题意知～，……5分
，，
，，
……10分
的分布列为：
0
1
2
3
……12分
4
……14分
19．（本题满分14分）
解：
（1）由，得即 ……2分
，故数列是等比数列……4分
（2）由
（1）知是，的等比数列；
故……7分
（3）…10分
…14分
20．（本题满分14分）
解：
（1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得∴椭圆的方程……2分
（2），设边上的高为，……3分
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．
所以，……4分
y
x
O
F
H
A
B
D
当在椭圆上、下顶点时，最大为，
故的最大值为，
于是也随之最大值为……5分
此时内切圆圆心的坐标为……7分
（3）将直线代入椭圆的方程并整理．
得．
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得．……9分
直线的方程为：
，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．…11分
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，
因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点在直线上．……………14分
21．（本题满分14分）
解：
（1），当且仅当时等号成立，
故的取值范围为．……………4分
（2）解法一（函数法）
……………5分
由，又，，∴在上是增函数，…7分
所以即
即当时不等式成立． ………9分
解法二（不等式证明的作差比较法）
，
将代入得
，……6分
∵，时，∴，即当时不等式成立．……………9分
（3）解法一（函数法）
记，则，
即求使对恒成立的的范
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