第四章随机变量的数字特征_精品文档PPT文件格式下载.ppt

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数学期望，方差，常用数字特征：

数学期望，方差，协方方差，相关系数和矩。

数学期望是最重要的一种，其余差，相关系数和矩。

数学期望是最重要的一种，其余都可以由它来定义。

都可以由它来定义。

引言河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计11、数学期望、数学期望【引例引例引例引例】枪枪手手手手进进行射行射行射行射击击，规规定定定定击击中区域中区域中区域中区域IIII内得内得内得内得2222分，分，分，分，击中区域击中区域击中区域击中区域IIIIIIII内得内得内得内得1111分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域分，脱靶（击中区域IIIIIIIIIIII）得）得）得）得0000分。

分。

IIIIII枪手每次射击的得分枪手每次射击的得分X是一是一个随机变量，其分布律为个随机变量，其分布律为现射击现射击N次次,其中得其中得0分的有分的有次次,得得1分的有分的有次次,得得2分的有分的有次次,于是于是,射击射击N次的总次的总分为分为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计从而从而,每次射击的平均分为每次射击的平均分为在第五章在第五章大数定律大数定律中可证明中可证明:

当当N无限增大时无限增大时,频率频率接近于概率接近于概率,故当故当N很大时很大时,这表明这表明:

随着试验次数增大随着试验次数增大,随机变量随机变量X的观察值的的观察值的算术平均算术平均接近于接近于称后者为随机变量称后者为随机变量X的数学期望的数学期望（均值均值）.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计定义定义定义定义1111随机随机变量量XX的的数学期望数学期望数学期望数学期望记为E（X）,E（X）,定定义为其其其其中中中中无无无无穷穷级级数数数数或或或或广广广广义义积积分分分分均均均均绝绝对对收收收收敛敛，分分分分别为别为离散型随机离散型随机离散型随机离散型随机变变量量量量XXXX的分布律或的分布律或的分布律或的分布律或连续连续型随机型随机型随机型随机变变量量量量XXXX的概率密度。

的概率密度。

（1）一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念绝对收敛是为了保证级数改变项的绝对收敛是为了保证级数改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和有相同的和河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计试评定甲乙成绩的优劣。

试评定甲乙成绩的优劣。

解解解解这是这是这是这是离散型离散型离散型离散型随机变量。

由数学期望定义得：

随机变量。

由由由由知：

甲的成绩远胜过乙的成绩。

知：

【例例例例例例111111】甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为甲乙两人进行射击所得分数分别为XXXXXX111111，XXXXXX222222，其，其，其，其，其，其分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为分布律分别为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计求求求求求求E（X）E（X）E（X）E（X）E（X）E（X）。

解解这是这是连续型连续型随机变量。

分段函分段函数的积数的积分分【例例例例例例222222】

（设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用设在某一规定时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间于最大负荷的时间X（X（X（X（X（X（分钟分钟分钟分钟分钟分钟）是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量,其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度其概率密度为为为为为为解：

由随机变量函数的分布，得解：

由随机变量函数的分布，得串联：

串联：

NminX1,X2,X3,X4,X5的分布函数为：

的分布函数为：

其密度函数为其密度函数为并联：

并联：

MmaxX1,X2,X3,X4,X5的分布函数为：

可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计定理定理11设Y=Y=g（Xg（X）是随机是随机变量量XX的的连续函数，函数，则YY也是随机也是随机变量，且其数学期望量，且其数学期望为

（2）利用随机利用随机变量函数的分布可以量函数的分布可以证明下列两定理明下列两定理:

二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望其其中中无无穷级数数或或广广义积分分均均绝绝对对收收收收敛敛，分分别为离散型随机离散型随机变量量XXXX的分布律或的分布律或连续型随机型随机变量量XXXX的概率密度。

河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计其其中中无无穷级数数或或广广义积分分均均绝对收收敛,分分别为离散型随机离散型随机变量量（X,Y）（X,Y）的分布律和的分布律和连续型随机型随机变量量（X,Y）（X,Y）的概率密度。

定理定理定理定理2222Z=Z=g（X,Yg（X,Y）是随机是随机变量量（X,Y）（X,Y）的的连续函数，函数，则ZZ也是随机也是随机变量，且其数学期望量，且其数学期望为（3）河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计【例例例例例例555555】一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命X（X（X（X（X（X（以年计以年计以年计以年计以年计以年计）服从服从服从服从服从服从指数分布指数分布指数分布指数分布指数分布指数分布,其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为其概率密度为解解解解这是求这是求这是求这是求连续型连续型连续型连续型随机变量函数的数学期望。

随机变量函数的数学期望。

工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工若工若工若工若工若工厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利厂售出一台设备赢利100100100100100100元元元元元元,调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费300300300300300300元元元元元元.试试试求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台求厂方出售一台设备净赢设备净赢设备净赢利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望利的数学期望.设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为设售出一台设备的净赢利为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为故售出一台设备的净赢利的数学期望为河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计D解解这是二维这是二维连续型连续型随机变量函数的数学期望。

联合概率密度函数非零区域为联合概率密度函数非零区域为故由定理故由定理2得得:

【例例例例6666】课后课后课后课后P.139:

ex9P.139:

ex9河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计例5-续在在计算二算二维连续型随机型随机变量的数字数字特征量的数字数字特征时,需需要要计算广算广义二重二重积分，当概率密度在有界区域分，当概率密度在有界区域DD上非上非零零时，实际上是上是计算普通二重算普通二重积分分.河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计三三三三三三.数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望具有如下性数学期望具有如下性质:

设X,YX,Y为随机随机变量量,c为常常数数,则E（c）=c;

E（cX）=cE（X）;

E（X+Y）=E（X）+E（Y）;

当当X,Y相互独立时相互独立时,E（XY）=E（X）E（Y）;

【证证】由随机变量及其函数的数学期望知由随机变量及其函数的数学期望知:

此时此时,为退化分布为退化分布:

PX=C=1,故由定义得故由定义得:

E（c）=E（X）=cPX=