数方程曲线的参数方程PPT资料.ppt
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(1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动;
(2)沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量?
这些变量之间有什么关系?
t时刻,水平位移为x=100t,离地面高度y,即:
y=500-gt2/2,,物资落地时,应有y=0,,得x1010m;
即500-gt2/2=0,解得,t10.10s,,因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资,可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。
并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,,参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
例1:
已知曲线C的参数方程是(t为参数)
(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;
(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。
解:
(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组,解得t=0,所以M1在曲线上,把点M2的坐标(5,4)代入方程组,得到,这个方程无解,所以点M2不在曲线C上,
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上,所以,解得t=2,a=9所以,a=9.,B,A(1,4);
B(25/16,0)C(1,-3)D(25/16,0),D,A(2,7);
B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1,0),
(1)由题意可知:
1+2t=5,at2=4;
a=1,t=2;
代入第二个方程得:
y=(x-1)2/4,4动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程.,解:
设动点M(x,y)运动时间为t,依题意,得,A一个定点B一个椭圆C一条抛物线D一条直线,D,B,(4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.,参数方程求法:
(1)建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y);
(2)选取适当的参数;
(3)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;
圆的参数方程,M(x,y),圆周运动中,当物体绕定轴作匀速运动时,物体上的各个点都作匀速圆周运动,,怎样刻画运动中点的位置呢?
那么=t.设|OM|=r,那么由三角函数定义,有,如果在时刻t,点M转过的角度是,坐标是M(x,y),,即,这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程,参数t有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻),考虑到=t,也可以取为参数,于是有,圆心为原点半径为r的圆的参数方程.,其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时,OM0转过的角度,一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,,另外,要注明参数及参数的取值范围。
x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1,参数方程为,(为参数),例1已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
练习:
例2如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数方程。
设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cos,2sin).,由中点坐标公式可得,因此,点M的轨迹的参数方程是,解:
由已知圆的参数方程为,例4
(1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程;
(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程.,已知P(x,y)圆C:
x2+y26x4y+12=0上的点。
(1)求的最小值与最大值,
(2)求xy的最大值与最小值,例5最值问题,例6参数法求轨迹,已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.,AQ:
QP=2:
1,练习,A,A36B6C26D25,D,A,.,5已知点P是圆上一个动点,定点A(12,0),点M在线段PA上,且2|PM|=|MA|,当点P在圆上运动时,求点M的轨迹,解:
设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(4cos,4sin).,2|PM|=|MA|,由题设,(x-12,y)=,因此,点M的轨迹的参数方程是,参数方程和普通方程的互化,把它化为我们熟悉的普通方程,有cos=x-3,sin=y;
于是(x-3)2+y2=1,轨迹是什么就很清楚了,在例1中,由参数方程,直接判断点M的轨迹是什么并不方便,,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程;
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,否则,互化就是不等价的.,把参数方程化为普通方程:
例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线?
解:
(1)由,得,代入,得到,这是以(1,1)为端点的一条射线;
所以,把,得到,
(1),
(2),
(1)(x-2)2+y2=9,
(2)y=1-2x2(-1x1),(3)x2-y=2(x2或x-2),练习、将下列参数方程化为普通方程:
步骤:
(1)消参;
(2)求定义域。
练习将下列参数方程化为普通方程,B,例2求参数方程,表示(),(A)双曲线的一支,这支过点(1,1/2);
(B)抛物线的一部分,这部分过(1,1/2);
(C)双曲线的一支,这支过点(1,1/2);
(D)抛物线的一部分,这部分过(1,1/2).,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种:
1.代入法:
利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数,2.三角法:
利用三角恒等式消去参数,3.整体消元法:
根据参数方程本身的结构特征,整体上消去,化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:
在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。
小结,普通方程化为参数方程:
普通方程化为参数方程需要引入参数:
如:
直线l的普通方程是2x-y+2=0,可以化为参数方程:
一般地,如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变量与参数t的关系y=g(t),那么:
就是曲线的参数方程。
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程?
在y=x2中,xR,y0,,因而与y=x2不等价;
练习:
曲线y=x2的一种参数方程是().,在A、B、C中,x,y的范围都发生了变化,,而在D中,x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,,代入y=x2后满足该方程,,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致。
否则,互化就是不等价的.,解:
练习把下列普通方程化为参数方程:
练习把下列参数方程化为普通方程,(3),(t是参数),练习P是双曲线(t是参数)上任一点,F1,F2是该焦点:
求F1F2的重心G的轨迹的普通方程。