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但新的问题又出现了：
在此规定下，如小数来表示。
在此规定下，如何比较实数的大小？
何比较实数的大小？
22实数大小的比较实数大小的比较定义定义11给定两个给定两个非负实数非负实数其中其中为非负整数为非负整数,为整数为整数,若有若有1）1）若若则称则称x与与y相等相等,记为记为2）2）若存在非负整数若存在非负整数l,使得使得（k=0,1,2,l）,而而则称则称x大于大于y（或或y小于小于x）,）,分别记为分别记为或或规定任何非负实数大于任何负实数；
规定任何非负实数大于任何负实数；
对于负实数对于负实数x,y若按定义若按定义11有有则称则称比较两个实数大小的等价条件比较两个实数大小的等价条件为非负实数，称有理数为非负实数，称有理数为实数为实数x的的n位不足近似，位不足近似，而有理数而有理数称为称为x的的n位过剩近似位过剩近似，n=0,1,2,定义定义22设设对于负实数对于负实数x的的n位不足近似值规定为位不足近似值规定为：
x的的n位过剩近似值规定为：
位过剩近似值规定为：
例如例如:
则则1.4,1.41,1.414,1.4142,为为的的11位位,2,2位位,3,3位位,4,4位不足近似值位不足近似值。
1.5,1.42,1.415,1.4143,为为的的11位位,2,2位位,3,3位位,4,4位过剩近似值。
位过剩近似值。
实数实数有有如下一些主要性质如下一些主要性质22实数集是有序的，即实数集是有序的，即任何两个实数任何两个实数a,b,必满足下述必满足下述33实数大小关系具有传递性，即若实数大小关系具有传递性，即若ab，bc,则有则有ac.44实数具有实数具有Achimedes性，即对任何性，即对任何55实数集实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数。
实数。
66实数集实数集R与数轴上的点有着一一对应关系与数轴上的点有着一一对应关系。
三个关系之一三个关系之一：
11实数集实数集R对加、减、乘、除对加、减、乘、除（除数不为除数不为0）0）四则运算是封闭的四则运算是封闭的.例2证明.,:
babaRba+则有若对任何正数证明设ee.,.bababababa,+从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeeee二二.绝对值与不等式绝对值与不等式实数a的绝对值定义a0-a.几何意义：
从数轴看,数的绝对值就是点到原点的距离认识到这一点非常有用，与此相应，表示就是数轴上点与之间的距离.性质）（非负性）；
）；
）对任何有（三角不等式）；
）性质性质4（三角不等式）的证明：
（三角不等式）的证明：
对任何对任何有有4.几个重要不等式几个重要不等式:
对记（算术平均值）（几何平均值）（调和平均值）有均值不等式有均值不等式:
（等号当且仅当时成立）.Bernoulli不等式不等式:
（在中学已用数学归纳法证明过）对22数集数集.确界确界原理原理一一区间与邻域区间与邻域:
无限区无限区间v邻域v去心邻域此外此外,我们还常用到以下邻域我们还常用到以下邻域二、有界集确界原理二、有界集确界原理定义定义11设设S为为R中的一个数集。
若存在数中的一个数集。
若存在数M（L）,使得对一使得对一切切xS,都有都有xM（xL）,则称则称S为有上界（下界）的数为有上界（下界）的数集，数集，数M（L）称为称为S的一个上界（下界）的一个上界（下界）.若数集若数集S既有既有上界又有下界上界又有下界,则称则称S为有界集为有界集.若若S不是不是有界集，则称有界集，则称S为无界集。
为无界集。
若数集若数集S有上界，显然它有无穷多个上界，而有上界，显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集数集S的上确界。
同样，有下界数集的最大下界，的上确界。
同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。
称为该数集的下确界。
MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界下面给出数集的上确界和下确界的定义下面给出数集的上确界和下确界的定义。
说明:
Sx1x2x3x4x5xnax0上、下确界的另一精确定义上、下确界的另一精确定义定义设设S是是R中的一个数集，若数中的一个数集，若数满足以下两条：
满足以下两条：
（11）对一切）对一切有有即即是数集是数集SS的上界；
的上界；
（22）对任意对任意存在存在使得使得（即（即是是S的最小上界）的最小上界）则称数则称数为数集为数集S的上确界。
的上确界。
heh-0x记作记作xex+S定义设设S是是R中的一个数集，若数中的一个数集，若数满足以下两条：
（11）对一切）对一切有有即即是数集是数集S的下界；
的下界；
（22）对任意对任意存在存在使得使得（即（即是是S的最大下界）的最大下界）则称数则称数为数集为数集S的下确界。
的下确界。
记作记作思考题思考题:
0,1的上下确界分别等于几的上下确界分别等于几?
（0,1）中的无理数构成的集合呢中的无理数构成的集合呢?
例例22设设S=x|x为区间为区间（0,1）中的有理数中的有理数,试按上下试按上下确界的定义验证确界的定义验证:
supS=1,infS=0.证证先验证先验证supS=1
（1）
（1）对一切对一切xS,显然有显然有x1,1,即即11是是S的上界的上界.
（2）
（2）对任何对任何1,1,若若0,0,则任取则任取x0S都有都有x0;
若若0,0,则有有理数在实数集中的稠密性则有有理数在实数集中的稠密性,在在（,1）中中必有有理数必有有理数x0,即存在即存在x0S,使得使得x0.类似地可以验证类似地可以验证infS=0注:
（1）由上（下）确界的定义可知由上（下）确界的定义可知,若数集若数集S存在存在上（下）确界上（下）确界,则一定是唯一的则一定是唯一的;
（2）若数集若数集S存在上、下确界，则有存在上、下确界，则有infSsupS;
（3）数集数集S的确界可能属于的确界可能属于S也可能不属于也可能不属于S。
例例3设数集设数集S有上确界有上确界,证明证明的充要条件是的充要条件是证证必要性必要性设设则对一切则对一切xS,有有而而故故是数集是数集S中的最大数中的最大数,即即充分性充分性设设则则下面验证下面验证
（1）对一切对一切xS,有有x,则则从而满足从而满足
（2）对任何对任何只须取只须取的定义的定义.是是S的上界的上界;
即即定理定理1.11.1（确界原理确界原理）设）设S为非空数集，若为非空数集，若SS有有上界，则上界，则S必有上确界；
若必有上确界；
若S有下界，则有下界，则SS必必有下确界。
有下确界。
（证略）（证略）注意：
确界原理是极限理论的基础，应很注意：
确界原理是极限理论的基础，应很好地去理解和消化。
好地去理解和消化。
例例44设设A，B为非空数集，满足：
对一切为非空数集，满足：
对一切xA和和yB有有xy。
证明数集证明数集A有有上确界，数集上确界，数集B有下确界，且有下确界，且supAinfB。
由确界原理可知数集由确界原理可知数集A有上确界有上确界,数集数集B有下确界。
而此式表明数而此式表明数supA是数集是数集B的一个下界的一个下界,证证由假设由假设,数集数集B中任一数中任一数y都是数集都是数集A的上界，的上界，数集数集A中任一数中任一数x都是数集都是数集B的下界的下界,对任何对任何yB,y是数集是数集A的一个上界的一个上界,又由上确界的定义知又由上确界的定义知supA是数集是数集A的最小上界的最小上界,故有故有supAy。
由下确界的定义知由下确界的定义知,supAinfB。
例例5设设A、B为非空有界数集为非空有界数集,SAB.证明：
证明：
（1）supSmaxsupA,supB;
（2）infSmininfA,infB.证证由于由于SAB,显然也是非空有界数集显然也是非空有界数集,因此因此S的上下确界都存的上下确界都存在在.
（1）对任何）对任何xS，有有xA或或xB，故故xsupA或或xsupB从而从而xmaxsupA,supB，故有，故有supSmaxsupA,supB；
另一方面，对任何另一方面，对任何xA，有，有xS，故，故xsupS，所以所以supAsupS；
同理又有；
同理又有supBsupS，因此因此supSmaxsupA,supB综上所述，即得综上所述，即得supSmaxsupA,supB。
4.小结P9:
2,4
（1）、（3）,5.
（1）,两个实数的大小关系;
（2）,实数的性质;
（3）,区间和邻域的概念;
（4）,确界原理.
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