一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法_精品文档PPT课件下载推荐.ppt

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简例如下：

本章只讨论常微方程。

2.常微方程分类命名法常微方程分类命名法含一元未知函数的导函数或因变量含一元未知函数的导函数或因变量1.何谓常微分方程何谓常微分方程经验指出，常微方程中未知函数及其经验指出，常微方程中未知函数及其非线性方程，剩下的都是线性方程。

非线性方程，剩下的都是线性方程。

显然，简例中阶数最高的方程是显然，简例中阶数最高的方程是（5），它们统称为高阶方程）。

剩下的方程全它们统称为高阶方程）。

剩下的方程全为三阶方程；

其次是为三阶方程；

其次是（4），为二阶方程（，为二阶方程（是一阶方程（尤其含有微分者更如此）是一阶方程（尤其含有微分者更如此）的微分以及自变量的微分的等式称为的微分以及自变量的微分的等式称为数或因变量的微分及其多个自变量的数或因变量的微分及其多个自变量的常微分方程；

含多元未知函数的偏导常微分方程；

含多元未知函数的偏导常微方程按其内所含未知函数的最高常微方程按其内所含未知函数的最高阶数来分类并命名。

最高阶数是几，方阶数来分类并命名。

最高阶数是几，方程就被称为几阶方程。

程就被称为几阶方程。

导数的幂次是否全为一次，决定了未知导数的幂次是否全为一次，决定了未知函数的具体结构能否被解出来的难度。

函数的具体结构能否被解出来的难度。

全为一次的方程称为线性方程，否则称全为一次的方程称为线性方程，否则称为非线性方程。

易见，简例唯有为非线性方程。

易见，简例唯有

（2）是是的微分的等式称为偏微分方程。

的微分的等式称为偏微分方程。

退出退出返回返回3.常微方程的特解与通解常微方程的特解与通解常微方程的通解多数都能囊括方程的常微方程的通解多数都能囊括方程的例外）。

不被通解囊括的以及通解中的例外）。

不被通解囊括的以及通解中的例例1-1验证方程验证方程的通解的通解任何含自变量与因变量的表达式，若任何含自变量与因变量的表达式，若能由之恒等地推出给定的常微方程时，能由之恒等地推出给定的常微方程时，都称为该常微方程的解；

解若含有任意都称为该常微方程的解；

解若含有任意所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有常数、且不能合并的任意常数的个数恰常数、且不能合并的任意常数的个数恰任意常数取特定值后所得出的对应解称任意常数取特定值后所得出的对应解称证证是是好等于方程的阶数时称为方程的通解。

好等于方程的阶数时称为方程的通解。

为方程的特解。

由于表达式中仅含一个任意常数，个数由于表达式中仅含一个任意常数，个数可见，给定的表达式是给定方程的解；

可见，给定的表达式是给定方程的解；

明显与方程的阶数（一阶）相等，故此明显与方程的阶数（一阶）相等，故此解是方程的通解。

解是方程的通解。

证毕。

退出退出返回返回的通解。

的通解。

解解故原方程的通解为故原方程的通解为*例例2-12-1求一阶非线性微分方程求一阶非线性微分方程即即非线性方程的通解（包括特解）非线性方程的通解（包括特解）往往用隐函数的形式书写比较简洁。

往往用隐函数的形式书写比较简洁。

有些非线性方程偶尔可经变元代换化有些非线性方程偶尔可经变元代换化成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材P236之例之例4与例与例5），但转换过程琐碎，明），但转换过程琐碎，明显不如凑微分法来得直接和明快。

显不如凑微分法来得直接和明快。

可见，可见，退出退出返回返回的通解。

解解故原方程的通解为故原方程的通解为*例例2-22-2求一阶非线性微分方程求一阶非线性微分方程即即用凑微分法解常微方程，用凑微分法解常微方程，需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，特别是商的微分运算法则；

特别是商的微分运算法则；

其掌控的要点在于其掌控的要点在于认准何为分母，何为分子。

认准何为分母，何为分子。

（本例即教材（本例即教材P236之例之例4）可见，可见，退出退出返回返回解解的通解。

例例2-32-3求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程故故凑微分法解一阶微分方程时，凑微分法解一阶微分方程时，只要可能，应坚持因变量按因变量凑，只要可能，应坚持因变量按因变量凑，自变量按自变量凑；

然后再合并归总得通解。

自变量按自变量凑；

解微分方程的过程，本质上是解微分方程的过程，本质上是求出的求出的特解和通解特解和通解又常又常常被分别称做常被分别称做历经曲折求原函数的过程。

因此，被历经曲折求原函数的过程。

因此，被微分方程的微分方程的积分曲线和积分曲线族积分曲线和积分曲线族（我们知道，同时含有因变量和自变量我们知道，同时含有因变量和自变量的等式在解析几何中表示平面曲线）的等式在解析几何中表示平面曲线）在极理想的情况下，原方程有可能被在极理想的情况下，原方程有可能被重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，人们常称其为已分离变量的形式。

人们常称其为已分离变量的形式。

这种方程的解几乎显而易见：

退出退出返回返回解解故原方程的通解为故原方程的通解为或者或者故原方程的通解为故原方程的通解为或者或者例例2-42-4解下列一阶线性齐次方程解下列一阶线性齐次方程方程两边同乘以方程两边同乘以线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。

非齐次项为零的方程称为线性齐次方程线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。

非齐次项为零的方程称为线性齐次方程的特解。

的特解。

退出退出返回返回满足初始条件满足初始条件解解故方程的通解为故方程的通解为亦即亦即又又故欲求的特解为故欲求的特解为或者或者例例2-52-5求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程亦即亦即退出退出返回返回解解故方程的通解为故方程的通解为或者或者又又即即故原方程欲求的特解为故原方程欲求的特解为或者或者的特解。

满足初始条件满足初始条件例例2-62-6求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程*例例2-72-7求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程与与退出退出返回返回解解故方程的通解为故方程的通解为即即的通解。

故方程的通解为故方程的通解为即即退出退出返回返回解解得得x的连续函数。

的连续函数。

所得等式的两边同乘以所得等式的两边同乘以参考课本参考课本P237P237公式公式（6）（6）故方程的通解为故方程的通解为可见可见*例例2-82-8求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程的通解，其中的通解，其中P，Q都是都是但应强调指出的是，其中的不定积分但应强调指出的是，其中的不定积分仅用以特指仅用以特指P（x）的某一的某一积函数的某个原函数而非全体原函数。

积函数的某个原函数而非全体原函数。

而非全体原函数。

该公式在教材的该公式在教材的P237P237的公式的公式（6）（6）中借不定积分的形式表述为中借不定积分的形式表述为的通解求算公式：

的通解求算公式：

*例例2-82-8的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程类似地，不定积分类似地，不定积分也仅用以特指被也仅用以特指被显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。

采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。

退出退出返回返回退出退出返回返回的通解。

解解故原方程的通解为故原方程的通解为*例例2-92-9求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程用凑微分法解常微方程，用凑微分法解常微方程，除应纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧、除应纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧、特别是商的运算法则之外，特别是商的运算法则之外，对已经选凑成形的微分间的相互关联性，对已经选凑成形的微分间的相互关联性，尤其应保持住丰富的联想空间。

尤其应保持住丰富的联想空间。

何谓规律？

不就是相互关联性吗？

“想象力比知识更重要想象力比知识更重要”，本例即为又一，本例即为又一值得体味的佐例值得体味的佐例（请与教材（请与教材P236之例之例4相比对相比对）可见，可见，退出退出返回返回1.分离变量法分离变量法2.公式法公式法已分离变量的方程。

对可分离变量已分离变量的方程。

对可分离变量若一阶常微方程已被改写成关于若一阶常微方程已被改写成关于通解表达式，把未知函数的系数和通解表达式，把未知函数的系数和若一阶常微方程已被改写成等号若一阶常微方程已被改写成等号两边各自分别是同一变量疑似为某两边各自分别是同一变量疑似为某全微分的方程，则这种方程就称为全微分的方程，则这种方程就称为所求得的一阶任意线性微分方程的所求得的一阶任意线性微分方程的非齐次项的信息直接代入计算，而非齐次项的信息直接代入计算，而一举得出通解的解法称为公式法。

一举得出通解的解法称为公式法。

这种奠基性的解法一旦与微分方程的具体构形特征挂上钩之后，这种奠基性的解法一旦与微分方程的具体构形特征挂上钩之后，凑微分法是微分方程求解的奠基性解法。

凑微分法是微分方程求解的奠基性解法。

还能衍生出许多其它的经典解法。

的方程分离变量，各边再分头关于的方程分离变量，各边再分头关于自身的变量求不定积分常能求出方自身的变量求不定积分常能求出方程的解。

这种解法称为分离变量法。

程的解。

某个变量为未知函数的一阶线性微某个变量为未知函数的一阶线性微分方程的规范形式分方程的规范形式，则借用例，则借用例2-8退出退出返回返回*例例3-1用分离变量法求微分方程用分离变量法求微分方程（因（因y0显然是方程之解，故任意常显然是方程之解，故任意常