百校联考高三下学期普通高中教育教学质量监测考试全国1卷文科数学试题含答案.docx
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百校联考高三下学期普通高中教育教学质量监测考试全国1卷文科数学试题含答案
2021届普通高中教育教学质量监测考试
全国Ⅰ卷文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则中元素的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
2.若，则（）
A.1B.C.2D.
3.数据显示2021年3月以来文化类旅游的市场占比显著提升，某旅游服务平台收集并整理了2021年3月1日至7日期间某文化类景区门票日订单量（单位：
万张）和增长速度的数据，绘制了右边的统计图.则下列结论正确的是（增长速度=（本期数一上期数）/上期数）（）
A.7天的增长速度逐日增加
B.7天中有3天的增长速度为正
C.7天的增长速度的平均值为负
D.3月6日的订单量约为3.19（万张）
4.函数的部分图象大致为（）
A.B.
C.D.
5.已知，，则（）
A.0B.C.D.
6.堑堵和阳马都是中国古代算数中的几何体，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为长方形，一条侧棱垂真于底面的四棱锥，在如图所示的堑堵中，面积最大的侧面是边长为2的正方形，则四校锥的体积的最大值为（）
A.B.
C.1D.
7.曲线在处的切线方程为（）
A.B.
C.D.
8.已知在区间上的最小值为，则的值为（）
A.B.C.D.
9.已知，是抛物线上的点，是轴上的点，轴，为等边三角形，则的横坐标为（）
A.B.C.3D.
10.已知，，，则（）
A.B.C.D.
11.6个大小不相等的数排成3行，第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，设是第行中的最大数，现有下列四个命题：
最大数在第一行的概率为.最大数在最后.
的概率为.的概率.
则下面命题中，假命题为（）
A.B.C.D.
12.已知数列满足，，数列的前项和为，.若，则的最小值为______.
A.1B.2C.3D.4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.设，满足约束条件则的最小值为______.
14.已知点，分别为圆锥的顶点和底面圆心，为锥底面的内接正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
15.已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上一点，，则双曲线的离心率的取值范围是______.
16.如图，在凸四边形中，，为等边三角形.则当四边形的面积最大时，______.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
设等差数列的前项和为，，，数列满足.
（1）若，求的前项和；
（2）若，，成等比数列，求.
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，四边形是菱形，.
（1）证明：
；
（2）若，求点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）
中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响.随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据如下表所示：
年份
2017
2018
2019
2020
2
3
4
5
26
39
49
54
（1）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）
（2）建立关于z的回归方程；
（3）若保持以往的沙漠治理经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩.
参考数据：
，；
参考公式：
相关系数，，..
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，过左焦点且与轴垂直的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，为椭圆上两点，为坐标原点，斜率为的直线经过点，若，关于对称，且，求的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）判断函数的单润性，并证明有且仅有一个零点：
（2）若，求的取值范围.
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22.（本小题满分10分）【选修4—4：
坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若，与，有且只有1个公共点，求；
（2）若，曲线，交于，两点，求.
23.（本小题满分10分）[选修4—5：
不等式选讲]
已知，为正数，函数的值域为.
（1）若，证明：
；
（2）若，证明：
.
2021届普通高中教育教学质量监测考试
全国I卷文科数学参考答案
1.C【解析】由题意可知
，.
2.C【解析】由题意，
则.
3.D【解析】结合统计图可知，3日，4日和7日的增长速度比前一天均下降，A选项不正确；
7天中，2日，5日，6日和7日的增长速度均为正，B选项不正确；
根据统计图可知7天的增长速度的平均值为正，C选项不正确；
3月5日的订单量约为2.2（万张），则3月6日的订单量约为（万张），D选项正确.
4.C【解析】，
故为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B选项；
当时，，，，且，
故，排除A，D选项.
5.A【解析】设，，
所以，且，
解得，，即，，
则有.
6.D【解析】因为面积最大的侧面是边长为2的正方形，
所以。
作于，则有平面，的最大值为1，
故的体积的最大值为.
7.D【解析】由题，，
则，所以切线方程为，
即.
8.B【解析】结合的图象，
当时，离坐标原点最近的值为一个，
因为区间关于原点对称，所以的值为
9.B【解析】设，，
因为为等边三角形，所以点为线段的中垂线与抛物线的交点，
即，且，解得，从而.
10.D【解析】因为，则，故，
所以；
因为，
则，故，
所以；则有.
11.C【解析】数阵中一共有6个数，最大数在第1行的概率为，命题正确；
最大数在最后一行的概率为，命题不正确；
若，则前2行的3个数中，最大的数在第2行，
所以其概率为，命题不正确；
若，则后2行的5个数中，最大的数在第3行，所以其概率为，命题不正确.
则命题为假命题.
12【解析】由，可得，
由，可得，故.
因为，
所以，
所以.
由题意可知，则，故为递增数列.
因为，
所以，故，
所以的最小值为1.
13.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，结合图形可知，
当直线过点时，取最小值，.
14.【解析】如图所示，连接，，延长交于，
取中点，连接，.
因为为正三角形，且为的外心，
所以为的中点，故，
则即为异面直线与所成的角.
设，则，.
由题意可知为等边三角形，则，
在中，.
15.【解析】设双曲线的右焦点为，
由双曲线的定义可知，故，
设，则点的横坐标为，
因为点在双曲线上，显然有，即，
所以离心率的取值范围是.
16.【解析】设，则，
由题意可知的面积.
在中，根据余弦定理，
可得，
则的面积，
所以四边形的面积.
当时，四边形的面积最大，
此时，.
17.【解析】
（1）设等差数列的公差为，则有
整理得，解得，所以.
则，
由可知，数列是首项，公差为4的等差数列，
所以.
（2）由，，成等比数列，则有，
因为，
所以，
因为，整理得，
则有，解得.
18.【解析】
（1）连接，
因为四边形为菱形，
所以.
因为，，，
所以平面，且平面，
所以.
因为，
所以，
又因为，
所以平面，
又平面，
所以.
（2）由
（1）知平面，
所以平面平面，
作于点，则平面，
因为四边形为菱形，，
所以为等边三角形，
所以为的中点.
三棱锥的体积.
取上靠近的四等分点，则，且，
连接，则由，且，
得平面，从而，则，
从而，
设点到平面的距离为，
根据等体积变换，则有，则
所以点到平面的距离为.
19.【解析】
（1）由已知数据和参考数据得
，，
，，
.
因为与的相关系数近似为0.998，说明与的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2），
.
所以回归方程为.
（3）当时，，
当时，，
所以，到2025年沙漠治理面积可突破100万亩.
20.【解析】
（1）设，则，
令，则，从而，即，
又因为，即，
解得，，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，当时，不符合题意.
当时，设直线，
由联立，整理得，
，
即①.
设，，则，，
，
.
的中点在直线上，
则，整理得②.
②式代入①式整理得，
解得或.
因为，即
整理得③.
将②式代入③得，，且满足或，
所以，故直线的方程为，或.
21.【解析】
（1），
由，可知有，
故在上单调递增.
因为，，
所以函数有唯一零点，且.
（2）由，整理得，
设，，
由
（1）可知在上单调递增，
存在唯一零点，且
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增.
即为在定义域内的最小值，
所以，
因为，
所以①，
令，，
方程①等价于，
而在上恒大于零，所以在单调递增，
故等价于，，
故的最小值，
所以，
所以的取值范围为.
22.【解析】
（1）根据曲线的参数方程可得，，
因为，
所以曲线是经过坐标原点且半径为1的动圆.
由的极坐标方程，可得，
则有，整理得，
所以曲线是圆心为，半径为1的圆.
结合图形可知，若与有且只有1个公共点，
则两圆外切，从而，
又，解得，.
（2）当，曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，
即.
由
（1）可知为曲线，的一个交点，
设另一交点为，
联立曲线，方程得.
整理得，
因为，解得，
则.
23.【解析】
（1），
因为，，的值域为，
则有.
因为（当且仅当时取等号），
所以.
（2）由题意可知，即，
，
根据基本不等式可知，
同理，
则有，
即.
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