届苏教版空间点线面的位置关系单元测试20Word文档格式.docx
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(2)过球的一条半径的中点,作垂直该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为________.
16.如果OA∥O′A′,OB∥O′B′,那么∠AOB和∠A′O′B′的关系为 .
17.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为__________________.
18.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的序号是________.
19.如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.
20.在棱柱同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的体对角线,则长方体共有________条体对角线.
二、解答题(共5小题,每小题12.0分,共60分)
21.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=6,E是PB上任意一点.
(1)求证:
AC⊥DE.
(2)当△AEC面积的最小值是9时,求证:
EC⊥平面PAB.
22.数学奥林匹克竞赛中,若你获得第一名,被授予如图所示的奖杯,那么,请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的?
23.如图:
E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点,平面α过EH分别交BC、CD于F、G.
求证:
EH∥FG.
24.如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4cm,CD=2cm,∠DAB=30°
,AD=3cm,试画出它的直观图.
25.如图,已知正方体ABCD—A′B′C′D.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直?
答案解析
1.【答案】60°
或120°
【解析】解:
根据二面角的定义,及线面垂直的性质,我们可得若两条直线a,b分别垂直于两个平面,则两条直线的夹角与二面角相等或互补,
∵m,n所成的角为60°
,
∴二面角α﹣l﹣β的大小是60°
.
故答案为:
60°
2.【答案】70°
或110°
①若角∠A的两边和角∠B的两边分别平行,且方向相同,则∠A与∠B相等,此时∠B=∠A=70°
;
②当角∠A的两边和角∠B的两边分别平行,且一边方向相同另一边方向相反,则∠A与∠B互补,
此时∠B=180°
﹣∠A=110°
70°
3.【答案】 ①③④ ⑥ ⑤
【解析】利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判定.
4.【答案】1
连接A1B,则A1B是D1E在面ABB1A内的射影
∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1,
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连接DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵ABCD是正方形,E是BC的中点.
∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,
即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.
∴=1时,D1E⊥平面AB1F.
5.【答案】
∵三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形,
∴根据斜二测画法的规则可知,原三角形为直角三角形,
直角边分别为2,4,
∴面积为
6.【答案】
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为,,则,,又,所以,则.
7.【答案】10
【解析】由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以原四边形OPQR的周长为2×
(3+2)=10.
8.【答案】
【解析】根据球的体积计算公式,该球的半径是2.设三棱柱的高为2a,根据题意,得a2+1=4,得a=,故这个三棱柱的高是2,其体积是×
()2×
2=.
9.【答案】
连接AC交BD与点O如图所示,
因为AA1⊥BD,AC⊥BD,
所以∠A1OA即为二面角A1﹣BD﹣A的平面角,
在△A1OA中,AA1=a,AO=a,
所以二面角A1﹣BD﹣A的正切值为
故答案为
10.【答案】8
【解析】该几何体为三棱锥,棱锥底面为直角三角形,两直角边分别为3和4,棱锥的高为4,所以该三棱锥的体积为。
11.【答案】a,b是平面α内的两条相交直线,且直线a,b都平行于平面β
由两个平面平行的判定定理可得,当直线a,b是平面α内的两条相交直线,且直线a,b都平行于平面β时,
一定能推出α∥β,
故答案为a,b是平面α内的两条相交直线,且直线a,b都平行于平面β.
12.【答案】4
【解析】当底面是正六边形时,共有4对面互相平行
13.【答案】6
【解析】由直观图可知其对应的平面图形AOB中
∠AOB=90°
,OB=3,OA=4,
∴S△AOB=OA·
OB=6.
14.【答案】
【解析】由圆锥的母线长为5,侧面积为15π,则根据.即可求出圆锥的底面周长.从而解出底面半径.再求出圆锥的高.根据体积公式.
15.【答案】
(1)4∶9
(2)3∶16
【解析】
(1)根据球的体积及表面积公式可知,两个球的体积之比等于半径之比的立方,表面积之比等于半径之比的平方.
∵两个球的体积之比为8∶27,
∴两个球的半径之比为2∶3,
∴两个球的表面积之比为4∶9.
(2)如图,
设球的半径为R,O1为半径OA的中点,则截面圆半径r=O1B==R,
∴所求比==.
16.【答案】相等或互补
若∠AOB和∠A′O′B′的在同一平面内,
则根据两直线平行,内错角相等,
可得:
∠AOB=∠A'
MB=∠A'
O'
B'
∠COB=∠O'
MB,
则∠A'
MB+∠O'
MB=180°
既有:
∠COB+∠A′O′B′=180°
即∠AOB和∠A′O′B′的关系为相等或互补.
若∠AOB和∠A′O′B′的不在同一平面内,
则根据平行直线的性质可知,结论同样成立.
相等或互补.
17.【答案】
【解析】底面周长为3,所以正六边形的边长为.则六边形的面积为.又因为六棱柱的体积为.即.由于六棱柱的顶点都在同一个球面上,所以球的半径为.所以球的体积.故填.
18.【答案】①
【解析】如图①所示,点O,E分别为所在线段的中点,所以OE∥CD,AB与OE所成的角就是AB与CD所成的角,又因为正方体可得AE=BE,∴AB⊥OE,∴AB⊥CD.
图①
AB与CD所成的角如图②所示,其大小为60°
.
图②
AB与CD所成的角如图③所示,其大小为45°
图③
AB与CD所成的角如图④所示,是直角三角形中的一个锐角.
图④
19.【答案】 60°
【解析】连接BC1,BA1,A1C1,∵EF∥BA1,GH∥BC1,
∴异面直线EF与GH所成的角即为BC1与BA1所成的角,即∠A1BC1,又∵A1B=BC1=A1C1,∴∠A1BC1=60°
20.【答案】4
【解析】通过观察实物(如粉笔盒)可知长方体有4条对角线
21.【答案】证明
(1)设AC与BD相交于点F.
因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以PD⊥AC,而PD∩BD=D,所以AC⊥平面PDB.
因为E为PB上任意一点,所以DE⊂平面PBD,
所以AC⊥DE.
(2)连接EF.
由
(1)知AC⊥平面PBD,EF⊂平面PBD,所以AC⊥EF.
S△ACE=AC·
EF,在△ACE面积最小时,EF最小,则EF⊥PB.
EF=×
6×
EF=9,解得EF=3,
由PB⊥EF,PB⊥AC且AC∩EF=F,得PB⊥平面AEC,则PB⊥EC,
又由EF=AF=FC=3得EC⊥AE,而PB∩AE=E,
故EC⊥平面PAB.
22.【答案】奖杯最上部是球体,中间是四棱柱,最下部是四棱台共三部分拼接而成的
23.【答案】证明:
∵E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点;
∴EH∥BD,
EH不在平面BCD内,BD在平面BCD内.
∴EH∥平面BCD.
又平面α过EH分别交BC、CD于F、G;
∴EH∥FG.
24.【答案】
【解析】画法:
步骤:
(1)如图a所示,在梯形ABCD中,
以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,
建立平面直角坐标系xOy.如图b所示,
画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°
(2)在图a中,过D点作DE⊥x轴,垂足为E.在图b中,
在x′轴上取A′B′=AB=4cm,
A′E′=AE=≈2.598cm;
过点E′作E′D′∥y′轴,使E′D′=ED=×
=0.75cm,
再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=DC=2cm.
(3)连接A′D′、B′C′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图c所示,则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
25.【答案】
(1)棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
(2)45°
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直
(1)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
(2)由BB′∥CC′可知,∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角,∠B′BA′=45°
,所以直线BA′和CC′的夹角为45°
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.