大跨度桥梁中几何非线性综述Word格式.docx

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也有采用多根直连杆或曲线单元来模拟，曲线单元精度较髙，但较复杂。

关于粱一柱效应，较精确的方法是用稳泄函数法，它能考虑弯矩对轴力、轴力对弯矩、弯矩对扭转、剪力对轴力等影响。

通常计人几何刚度的方法是稳左函数法的一阶近似。

关于大变形效应，采用T.L.法或U.L.法。

对桥梁的材料非线性动力问题研究得较多，但是对几何非线性的动力问题研究得较少且不成熟。

朋

目前，对于悬索桥、斜拉桥的几何非线性动力问题的处理。

只限于恒载初始内力和缆索垂度效应，即考虑恒载产生的初始内力对刚度项的修正后，英它仍按线性分析计算。

这样处理的原因在于：

1、汁算简单，动力问题的时程分析可以看作有限多个静力问题的集合，如果每个静力问题都按非线性处理，计算虽将非常大；

2、精度较好，恒载在结构外荷载中所占比例较大，桥梁在恒载作用下，缆索已被拉紧，再产生大的变形可能性较小。

但是，随着跨度的增加，结构柔性的增大，这种近似的处理方法有可能岀现问题。

如在进行悬索桥和斜拉桥的动力特性分析时，悬索桥考虑其恒载初始内力的影响，而斜拉桥则不考虑，但是当斜拉桥跨度超过500m时，若苴主梁采用混凝上材料，结构自重将在桥塔内产生非常大的轴压力，忽略其影响，将可能造成对结构抗震验算很重要的前几阶频率产生较大的误差。

目前对于缆索非线性采用等效弹性模量法，随着缆索长度的增大，误差也会越来越大。

另外，在时程分析中，忽略大变形的影响，将造成误差累计，最终计算结果可能偏离很大。

这些问题都需要进一步研究。

⑷

1•桥梁结构几何非线性分析

桥梁结构几何非线性分析一般采用有限位移理论，在建立以杆系结构有限位移理论为基础的大跨径桥梁结构几何非线性分析平衡方程时，一般考虑以下三方面的几何非线性效应：

（1）杆端初内力对单元刚度矩阵的影响。

一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响,有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳怎函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。

结构分析中的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的刚度变化对本期荷载响应的影响问题。

（2）大位務对建立结构平衡方程的影响。

此问题有两种考虑办法，一是将参考坐标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题，称为T.L列式法；

另一种是以将参考坐标选在变形后的位置上，让盯点坐标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位宜上，称为U.L列式法。

（3）索垂度效应对单元刚度的影响。

此问题亦有两种处理方法，一是引入Ernst公式,通过等效模量法来近似修正垂度效应，而用杆单元近似模拟索类构件；

另一种是直接导出索单元切线刚度矩阵。

曰

2.杆端初内力对单元刚度矩阵的影响

2.1轴力对弯曲刚度的影响

如图所示圧杆的内力和位移为正，其挠曲平衡微分方程为:

方程的解为:

引入边界条件：

y|.v=o=O,y\^=cd

M『+M[CoskM

A】=—,4,=——

1Nsink-N

l（sM（-cM.）

<

Pi=El

（2-7）

c和s为轴力影响下，杆端单位力矩引起的杆端角形变形，c为力矩作用端的角变形，s为

另一端的角变形。

最后，可导出有初轴力的杆单元刚度方程为:

（2-8）

系数与几何刚度系数之和。

2.2弯矩对轴向刚度的影响

杆单元的弯曲将引起杆件讣算长度（杆件两端节点的距离）的改变，从而影响杆件的轴

（2-12）

（2-14）

当N>

0（压杆）时:

@W）=k（M；

+M；

）（co啦+kcsch咲）_2（Mi+Mj）2+2RcscMMM/（l+&

coth灯

（2-15）当NvO（拉杆）时：

@W）=£

（M：

+M；

）（colk+£

csc£

）-2（M?

+M+2kcsckMtMj（\+kcQ\.k）（2-16）

3.大位移对建立结构平衡方程的影响抄㈤

几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后的位宜上。

事实上，任何结构的平衡只有再起变形后的位置上满足，材质真实意义上平衡的。

线性理论之所以能得以广泛应用，是因为一般结构受力状态不因变形而发生明显改变，而有些问题则不然，以桥梁结构为例，由于桥跨的长大化和柔性结构的应用，桥梁在荷载作用下上部结构的几何位置变化显著，从有限元的角度来说，结点坐标随荷载的增量变化较大，齐单元的长度、倾角等几何特性也相应产生较大的改变，结构的刚度矩阵成为几何变形的函数，因此平衡方程{F}=[K]{M不再是线性关系，小变形假设中的叠加原理不再适用。

解决方法是在汁算应力及反力时计入结构位移的影响，即位移理论。

平衡条件是根据变形后的几何位巻给岀的，荷载与位移不再成线性关系，内力与外荷载之间的正比关系也不再存在，由于结构大变位的存在产生了与荷载增量不成正比的附加应力。

大位移对建立平衡方程的影响。

在这个问题上。

目前流行的T.L列式法和U.L列式法并有不同的处理方法。

前者将参考坐标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题；

后者将参考坐标选在变形后的位置上，让节点坐标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上。

任何变形体在空间都占据一左的区域，构成一左的形状，这种几何形状简称为构形。

物体在问题求解开始的构形称为初始构形，在任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动。

3.1总体拉格朗日列式法

在整个分析过程中，以t二0时的构形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为总体拉格朗日列式法。

对于任意应力一应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：

国二0

（3-1）

式中：

{o'

}单元的应力向量：

[0——单元杆端力向量：

V——单元体积分域，对T.L列式，V是变形前的单元体积域：

田一—应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵，即：

fe}=[B]{8}

（3-2）

{5}——杆端位移向量。

在有限位移情况下田]是位移{&

}的函数。

后面将看到，[B]矩阵可分解为-与杆端位移无关的部分[BJ和与杆端位移有关的部分[BJR部分，即：

[B]=[BJ+[BJ

（3-3）

直接按式（3-1）建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。

在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度阵和结构刚度阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。

将（3-1）写成微分形式：

Jvd（[B]TW）dV-dffl=O（3-4）

或

^d[B]T{a}dV+j^B卩d{a}dV=d{fi（3-5）

根据式（11-3）和（11-5）等式左边第一项可写成：

Jvd[B]T{a}dV=J；

d[BL]T{a}dV=°

[k]od{5}（3-6）

另一方而，单元的应力、应变增量关系可表示成：

d{（y}=[DJdfe}（3-7）

[D]——弹性矩阵。

当材料满足线弹性时：

{a}=[D]（fe}-fe0»

+{aa}

（3-8）

{勺单元初应变向虽:

:

[a0J单元初应力向虽:

。

将式（3-2）、（3-3）带入（3-7）得:

d{o}=[D]（[B0]+[BLDd{8}

（3-9）

于是，式（3-5）左边第二项可表示为：

[[B]Td{o}dV二（[[B°

]T[D][B°

]dV十[[B°

]T[D][BjdV+^[BL]T[D][B0]dV

+回[BjdV）d⑹

（3-10）

记

（3-11）

°

[k]0=Jv[B0]T[D][Ba]dV

Ml=^[B0F[D][BL]dV+£

[BLnD][B0]dV

4-Jv[BL]T[D][BLIdV

（3-12）

则式（3-5）最后可表达为:

（°

[k]0+°

[k]L+叽）d{8}=°

[k]Td{S}=d{f}

（3-13）

式（3-13）就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。

式中。

[kh是三个刚度阵之和，称为单元切线刚度矩阵，它表示荷载增量的位移增量之间的关系，也可以理解为单元在特泄应力、变形下的瞬时刚度°

[k]°

与单元节点位移无关，是单元弹性刚度矩阵。

称为单元初位移刚度矩阵，或单元大位移刚度矩阵。

是由大位移引起的结构刚度变化，是的函数。

出打称为初应力刚度矩阵，它表示初应力对结构刚度的影响。

当应力为压应力时，单元切线刚度减小，反之单元切线刚度增加。

将各单元节线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增量刚度方程，即有：

[k]Td[A}=d[P}（3-14）

[kb—一结构切线刚度矩阵，可以由单元切线刚度矩阵按常规方法进行组集形成:

d{P}——荷载增量。

由于荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式，结构在求得的位移状态下，抗力与总外荷载之间有一定差量，即失衡力，结构必须产生相对位移以改变结构的抗力来消除这个失衡力。

在il•算中，一般通过迭代法来求解。

3.2更新的拉格朗日列式法（U.L列式）

在建立t+At时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照构形不是未变形状态t二0时的构形，而是最后一个已知平衡，即以本增量步起时的t时刻构形为参照构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法（U.L列式）

由于采用了U.L列式，平衡方程式（11-5）的积分需在t时刻单元体积内进行，且t[kh的积分式是t[k]°

的一阶或二阶小量，因此，代表[k】L的积分式可以路去。

这是U.L列式与T.L列式的一个重要区别。

最后增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：

（t[k]0+t[k]a）d[A}=d{P}

（3-15）

3.3T.L列式与U.L列式的异同即适用范囤

T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已的到多个实际例题的证明。

T.L列式与U.L列式的不同点表11-2给出。

T.L列式与U.L列式的不同表3-1

比较内容更

T.L列式

U.L列式

注意点

计算刚度的积分域

在初始构形的体积域内进行

在变形后的t时刻体积域内进行

U.L列式必须保留各节点坐标值

精度

保留了刚度矩阵中所有线性与非线性

忽略了高阶非线性项

U.L列式的荷载增量不能过大

单刚组集成总刚

用初始时刻各单元结构总体坐标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不变

用变形后t时刻单元在结构总体坐标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中