1617版111+任意角Word下载.docx
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按顺时针方向旋转形成的角
时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________．
【解析】 时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的，所以转动的角的大小是－×
360°
＝－30°
.
【答案】 －30°
教材整理2 象限角与轴线角
阅读教材P3“图1.1－3至探究”以上内容，完成下列问题．
1．象限角：
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．
2．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°
的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为________（把错误的序号都写上）．
【解析】 由象限角定义可知①②③④都不正确．
【答案】 ①②③④
教材整理3 终边相同的角
阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题．
1．前提：
α表示任意角．
2．表示：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·
，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
判断（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．（ ）
（2）终边相同的角有无数个，它们相差360°
的整数倍．（ ）
（3）终边相同的角的表示不唯一．（ ）
【解析】 由终边相同角的定义可知
（1）
（2）（3）正确．
【答案】
（1）√
（2）√ （3）√
[质疑·
手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
疑问3：
[小组合作型]
任意角的概念
（1）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°
的角}，则下面关系正确的是（ ）
A．A＝B＝CB．A⊆C
C．A∩C＝BD．B∪C⊆C
（2）下面与－850°
12′终边相同的角是（ ）
【导学号：
00680000】
A．230°
12′B．229°
48′
C．129°
48′D．130°
12′
【精彩点拨】 正确理解第一象限角、锐角、小于90°
的角的概念．
【自主解答】
（1）第一象限角可表示为k·
<
α<
k·
＋90°
，k∈Z；
锐角可表示为0°
β<
90°
，小于90°
的角可表示为γ<
；
由三者之间的关系可知，选D．
（2）与－850°
12′终边相同的角可表示为α＝－850°
12′＋k·
（k∈Z），当k＝3时，α＝－850°
12′＋1080°
＝229°
48′.
【答案】
（1）D
（2）B
1．判断角的概念问题的关键与技巧：
（1）关键：
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
（2）技巧：
判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．在0°
到360°
范围内找与给定角终边相同的角的方法：
（1）一般地，可以将所给的角α化成k·
＋β的形式（其中0°
≤β<
，k∈Z），其中的β就是所求的角．
（2）如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：
当所给角是负角时，采用连续加360°
的方式；
当所给角是正角时，采用连续减360°
的方式，直到所得结果达到要求为止．常见360°
的倍数如下：
1×
＝360°
，2×
＝720°
，
3×
＝1080°
4×
＝1440°
5×
＝1800°
[再练一题]
1．有下列说法：
①相差360°
整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②终边相同的角一定相等；
③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·
，（k∈Z）．
其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①不正确．终边相同的两个角一定相差360°
的整数倍，反之也成立；
②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·
③正确．因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈（－180°
，180°
），且β∈（－180°
）时α＋β＝0°
，当α，β为任意角时，α＋β＝k·
（k∈Z）．
【答案】 ③
象限角与区域角的表示
（1）如图1－1－2，终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是（ ）
图1－1－2
A．{α|k·
＋30°
＋45°
，k∈Z}
B．{α|k·
180°
＋150°
＋225°
C．{α|k·
D．{α|k·
（2）已知角β的终边在如图1－1－3所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．
图1－1－3
【精彩点拨】
【自主解答】
（1）在0°
～360°
内落在阴影部分角的范围为大于150°
而小于225°
，所以终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为{α|k·
，k∈Z}．
【答案】 C
（2）阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·
＋60°
＋105°
，k<
Z}．
阴影在x轴下方部分的角的集合为：
B＝{β|k·
＋240°
＋285°
所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·
，k∈Z}∪{β|k·
360＋285°
，k∈Z），其中B可以化为：
{β|k·
＋180°
即{β|（2m＋1）×
（2m＋1）×
，m∈Z}．
集合A可以化为
{β|2m×
2m＋180°
故A∪B可化为{β|n·
n·
，n∈Z}．
表示区间角的三个步骤：
第一步：
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°
范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<
x<
β}，其中β－α<
第三步：
起始、终止边界对应角α，β再加上360°
的整数倍，即得区间角集合．
2．写出图1－1－4中阴影部分（不含边界）表示的角的集合．
图1－1－4
【解】 在－180°
～180°
内落在阴影部分角集合为大于－45°
小于45°
，所以终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合为{α|－45°
＋k·
45°
[探究共研型]
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究1 由α所在象限如何求（k∈N*）所在象限？
【提示】
（1）画图法：
将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：
当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．
但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
（2）代数推导法：
运用代数式一步一步推理．如：
当角α在第二象限时，90＋k·
，k∈Z，则30°
120°
60°
，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
探究2 若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
【提示】
（1）关于y轴对称：
若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°
－α＋k·
，k∈Z.
（2）关于x轴对称：
若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·
（3）关于原点对称：
若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°
＋α＋k·
（4）关于直线y＝x对称：
若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°
（1）（2016·
北京高一检测）若α是第四象限角，则180°
－α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
（2）已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
【精彩点拨】
（1）可通过写出α的取值范围，逐步求得180°
－α范围来求解；
（2）可由α范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置．
【自主解答】
（1）因为α是第四象限角，则角α应满足：
－90°
，k∈Z，
所以－k·
－α<
－k·
则－k·
当k＝0时，180°
270°
故180°
－α为第三象限角．
（2）∵α是第二象限角，
∴90°
∴180°
＋2k·
2α<
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°
＋·
当k为偶数时，
不妨令k＝2n，n∈Z，
则45°
＋n·
此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，
则225°
此时，为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
1．解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论．
2．一般地，要确定所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把4n个区域依次标上号码1、2、3、4，则标号是n的区域就是α为第几象限时，的终边也可能落在区域．
3．本例
（2）中条件不变，试判断是第几象限角？
【解】 ∵α是第二象限角，
∴30°
当k＝3n，n∈Z时，
30°
，n∈Z此时为第一象限角，当k＝3n＋1，n∈Z时，
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