奇函数偶函数高中数学知识点讲解含答案Word文档下载推荐.docx
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③；
④ylogx，其中奇函数是（ ）
yxyx21ysinx
32
A．①②B．③④C．①③D．②④
二．填空题（共5小题）
4．（2010秋•东城区校级月考）已知f（x）是定义在R上的函数，那么“f（x）是偶函数”是
fxfxxR
2（）2（）
“对任意成立”的 条件．
f（x）f（x）
2
5．（2010春•西城区校级月考）奇函数f（x）在[3，6]上是增函数，在[3，6]上的最大值是8，最小值是1，则
2f（6）f（3）
等于 ．
6．（2009•北京）设f（x）是偶函数，若曲线yf（x）在点（1，f
（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（1，
f
（1））
处的切线的斜率为 ．
cos（0x）
7．（2005秋•朝阳区期末）若函数fx是奇函数，则函数g（x）的解析式是 ．
（）
g（x）（x0）
8．（2002春•北京校级期末）设fx是以5为周期的奇函数，f（3）1，又tan3，则f（sec22） ．
（）
三．解答题（共2小题）
9．（2009秋•宣武区校级月考）已知函数（）
（1），其中，为实常数．
fxx3ax2b2xab
3
（Ⅰ）求函数f（x）为奇函数的充要条件；
（Ⅱ）若任取a[0，4]，b[0，3]，求函数f（x）在R上是增函数的概率．
10．（2009秋•顺义区校级月考）设yf（x）是偶函数，且x…0时，f（x）x（x2），求
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（1）x0时，f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象，并由图直接写出它的单调区间．
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参考答案与试题解析
【分析】先看充分性：
令将条件“”转化为，再由为偶函数得到
1xtf（1x）f（1x）f（t）f（2t）f（x）
f（2t）f（t）
得证．
必要性：
由f（x）是以2为周期的周期函数，得到f（2x）f（x），进而有f（2x）f（x），再由偶函数转化为
f（2x）f（x）f（1x）f（1x）
进而有得证．
【解答】解：
充分性：
令1xt
xt1
f（t）f（2t）
又Qf（x）为偶函数
f（x）f（x）
f（2t）f（t）
f（x）是以2为周期的周期函数．
Qf（x）是以2为周期的周期函数．
f（2x）f（x）
f（2x）f（x）
Qf（x）
函数为偶函数，
f（1x）f（1x）
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故选：
C．
【点评】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性，进而来考查函数的周期性．
2．（2009秋•崇文区期末）已知函数是定义在上的偶函数，并且满足时，，
（）fx2,当2„x„3f（x）x
【分析】利用及将自变量调整到内，再进行求解．
f（x）f（x）f（xT）f（x）（2,3）
f（x2）f（x2）f（x2），故函数周期．f（x）
T4
f（105.5）f（4261.5）f（1.5）
．
又为偶函数．．
Qf（x）f（1.5）f（1.5）f（1.54）f（2.5）2.5
．
B
【点评】本题属于函数性质的综合应用，考查了奇偶性和周期性，属于基础知识的考查．
①yx；
②yx21；
③ysinx；
④，其中奇函数是
ylogx（）
【分析】利用奇函数的概念f（x）f（x）对①②③④逐个判断即可．
函数，满足，
Qyf（x）x3f（x）（x）3x3
yf（x）x
为奇函数，故①正确；
同理可证，ysinx为奇函数，故③正确；
对于②，为偶函数，故②错误；
yx21
对于④，的定义域为，不关于原点对称，故④log为非奇非偶函数，故④错误．
ylogx{x|x0}yx
22
综上所述，只有①③正确，
【点评】本题考查奇函数的概念，掌握奇函数的定义是根本，属于基础题．
f（x）f（x）
f2（x）f2（x）xR
“f（x）f（x）对任意成立”的 充要 条件．
f2（x）f2（x）
【分析】若f（x）是偶函数则有f（x）f（x），从而有f（x）f（x）成立说明是充分条件；
若
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f2（x）f2（x）f（x）f（x）
ab
则由基本不等式…ab，当ab时，取“”有f（x）f（x），得到函数f（x）是偶函数说明是必要条件．
若f（x）是偶函数
则
f（x）f（x）
f2（x）f2（x）有f（x）f（x）成立
是充分条件
若
fxfx
2（）2（）
ab
22
则由基本不等式…ab，当ab时，取“”
f（x）
是偶函数
是必要条件
故答案为：
充要条件
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，基本不等式以及常用逻辑用语，考查巧妙，灵活，是一道好题．
2f（6）f（3）17
【分析】先利用条件找到f（3）1，f（6）8，再利用f（x）是奇函数求出f（3），f（6）代入即可．
由题f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为1，
得f（3）1，f（6）8，
是奇函数，
f（3）2f（6）f（3）2f（6）12817．
17．
【点评】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对
定义域内的一切都有成立．
xf（x）f（x）
f
（1））处的切线的斜率为 1 ．
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【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．
【解答】解；
取，如图，
f（x）x1
易得该曲线在，处的切线的斜率为．
（1f
（1））1
故应填．
1
【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．
cos（0x）f（x）
7．（2005秋•朝阳区期末）若函数是奇函数，则函数g（x）的解析式是 cosx ．
cosx（0x）
【分析】由已知中函数f（x）是奇函数，我们易根据当x0时，0x，求出f（x）的解
析式，根据奇函数的性质f（x）f（x），即可得到答案．
若函数f（x）是奇函数，
则当x0时，0x
f（x）cos（x）cosx
又Qf（x）f（x）
g（x）cosx
cosx
【点评】本题考查的知识点是奇函数，其中熟练掌握奇函数的性质，f（x）f（x），是解答本题的关键．
8．（2002春•北京校级期末）设f（x）是以5为周期的奇函数，f（3）1，又tan3，则f（sec2
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