上机实验标准报告样式Word格式.docx
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一、实验目的
（1）进一步加深DFT算法原理和基本性质的理解（因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的运算结果必然满足DFT的基本性质）。
（2）熟悉FFT算法原理。
（3）学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。
二、实验内容
（1）x（n）＝构造DFT函数计算x（n）的10点、20点DFT并画出图形。
（2）利用FFT对下列信号逐个进行谱分析并画出图形
a.x1（n）=（n）
b.x2（n）=cosn
c.x3（n）=sinn
以上3个序列的FFT变换区间为N=8，16。
（3）设一序列中含有两种频率成分，f1=2HZ，f2=2.05HZ，采样频率取为fs=10HZ，即x（n）=sin（2f1n/fs）+sin（2f2n/fs），要区分出这两种频率成份，必须满足N＞400,为什么？
a.取x（n）（0≤n≤128），计算x（n）的DFTx（k）
b.将a中的x（n）以补零的方式使其加长到0≤n≤512，计算x（k）
c.取x（n）（0≤n＜512）计算x（k）
（4）令x（k）=x2（n）+x3（n）用FFT计算8点和16点离散傅立叶变换并画出图形，分析DFT的线性
（5）令x（n）=x2（n）+jx3（n）用FFT计算8点和16点离散傅立叶变换并画出图形，分析DFT的对称性
三、实验原理
工程实际中能观测到的信号不可能是无限长的，只能从某时刻开始观测有限时间长度T的一段，这就相当于用一个窗函数对信号进行截断。
所谓信号的谱分析，就是对有限长的离散序列采用时域和频域的DFT算法进行变换，得到信号的离散谱。
因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换（简称FFT）出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
由于系数是一个周期函数：
且是对称的：
正是基于这样的基本思想出现了快速傅立叶变化算法。
它的算法形式有很多种，但基本可以分成两大类：
时间抽取法（DIT－FFT）和频率抽取法（DIF－FFT）。
两者算法思想基本一致，只是划分方式略有差异，所以这里以DIT－FFT算法为例进行说明。
当N是2的整数次方时，称为基2的FFT算法。
首先将序列x（n）分解为两组，偶数项为一组，奇数项为一组：
将x1（r）和x2（r）分别进行N/2点的DFT得X1（k）和X2（k），且：
重复这一过程，可得到x（n）的FFT。
在MATLAB中，可直接利用内部函数fft进行计算，它是MATLAB系统本身提供的，而且采用机器语言，而不是MATLAB指令编制的，因此执行速度很快。
Ifft函数用于计算快速傅立叶逆变换。
四、实验的程序代码
（1）编写一个M文件，以文件名sy3_1.m保存在当前路径，具体代码如下：
N=10;
n1=[0:
N-1];
x1=[ones（1,6）,zeros（1,N-6）];
Xk1=dft（x1,N）;
figure
（1）;
subplot（2,1,1）;
stem（n1,x1）;
subplot（2,1,2）;
stem（n1,abs（Xk1））;
N=20;
n2=[0:
x2=[ones（1,6）,zeros（1,14）];
Xk2=dft（x2,N）;
figure
（2）;
stem（n2,x2）;
stem（n2,abs（Xk2））;
在命令窗口中键入sy3_1并回车运行，可以得到如图3-1所示的图形。
图3-1
由图3-1可知，对一个信号进行时域补零，再进行FFT运算得到的离散谱，包络不变，但是间隔更小，相当于进行了频域的插值。
（2）编写一个M文件，以文件名sy3_2.m保存在当前路径，具体代码如下：
N=64;
n=[0:
x1=[ones（1,4）,zeros（1,N-4）];
x2=cos（（pi/4）*n）;
x3=sin（（pi/8）*n）;
y1=fft（x1）;
y2=fft（x2）;
y3=fft（x3）;
m1=abs（y1）;
stem（n,x1）;
stem（n,m1）
m2=abs（y2）;
stem（n,x2）;
stem（n,m2）
figure（3）;
m3=abs（y3）;
stem（n,x3）;
stem（n,m3）;
在命令窗口中键入sy3_2并回车运行，可以得到如图3-2所示的图形。
图3-2
由图3-2可知，FFT作谱分析时，整个频谱关于N-1/2对称。
一个矩形序列的频谱包络是Sa函数曲线，而单一频率的正弦信号和余弦信号的频谱为两根离散的谱线。
（3）编写一个M文件，以文件名sy3_3.m保存在当前路径，具体代码如下：
N=128;
x=sin（2*pi*2*n/10）+sin（2*pi*2.05*n/10）;
X=fft（x）;
stem（n,x）;
stem（n,abs（X））;
x1=[x,zeros（1,384）];
X1=fft（x1）;
511];
stem（n1,abs（X1））;
N1=512;
N1-1];
x2=sin（2*pi*2*n2/10）+sin（2*pi*2.05*n2/10）;
X2=fft（x2）;
stem（n2,abs（X2））;
在命令窗口中键入sy3_3并回车运行，可以得到如图3-3所示的图形。
图3-3
由图3-3可知，第一个图中N=128，两个频率成分无法区分；
第二个图中N=128，然后再补零为512，由实验3-2知，补零无法提高频谱分辨率，所以两个频率成分还是无法区分；
第三个图，是截取了序列的512个数据点，这是得到的频谱图可以清楚看到有两个频率成分。
因为F=2.05-2=0.05；
fc=2.05,所以Nmin=fs/F=200。
（4）编写一个M文件，以文件名sy3_4.m保存在当前路径，具体代码如下：
N=16;
x1=cos（（pi/4）*n）+sin（（pi/8）*n）;
在命令窗口中键入sy3_4并回车运行，可以得到如图3-4所示的图形。
a.x2（n）=cosnb.x3（n）=sinn
c.x3（n）=x2（n）+x3（n）
图3-4
由图3-4可知，两个相同长度的序列相加得到的新序列，对应的新频谱等于原信号的频谱对应相加。
即FFT具有线性性质。
（5）编写一个M文件，以文件名sy3_5.m保存在当前路径，具体代码如下：
x1=cos（（pi/4）*n）+j*sin（（pi/8）*n）;
stem（n,abs（x1））;
在命令窗口中键入sy3_5并回车运行，可以得到如图3-5所示的图形。
图3-5
由图3-5可知，x（n）=x2（n）+jx3（n），其频谱包含实部x2（n）对应的共轭对称部分和jx3（n）对应的共轭反对称部分。
这就是DFT的共轭对称性。
五、实验总结
MATLAB提供FFT函数，可以方便的进行信号的谱分析。
运行该MATLAB程序后，得到如上图所示的频谱。
当N太小时，由于参与FFT的信号小于一个周期，所以作其FFT得到的频谱不能表达原信号x（n）的频谱。
当N满足Nmin=2fc/F时，正好取样了x（n）信号的至少一个周期。
从频谱图中可以看出：
当周期重复延长一个信号时，其频谱变密，但谱线位置不变。
当N=128，然后添零至N=512时，从FFT得到的频谱中可以看出：
该频谱图比N=128的频谱图密4倍
注意：
（1）填零运算提供了较密的频谱，而没有增加任何新的信息，因此它不能提供高分辩率的频谱。
（2）为得到高分辨率的频谱，需从实验或观察中取得更多的有效数据。
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