数理统计的一些应用.doc

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毕业论文

论文题目：

数理统计的一些应用

系别数学系

专业数学教育

班级10数教（3）班

学号131002139

姓名

指导教师

2013年6月5日

目录

目录 1

一　引言 2

二　数理统计在生活中的应用 2

三　数理统计的基本内容 7

2.统计推断 8

四　统计工作的重要性 8

1.统计工作的重要性 9

２.当前统计工作存在的问题及原因 9

3.解决统计工作问题的对策 10

五　运用数理统计的方法对考试成绩的分析 10

1.编制成绩频数分布表 11

2.算术平均数 12

3.离中趋势的度量 12

4.成绩频数分布为正态的拟合度检验 13

５.用正态分布的性质分析两个班的成绩 15

六　结束语 16

七参考文献：

16

八　致谢 17

数理统计的一些应用

赵芳娟

【摘要】：

数理统计学的基本方法已成为教育评估中的重要工具。

本文通过对数理统计的起源、发展、基本内容以及重要性的讲述，以一次考试成绩为例，给出了数理统计方法在教学评估中的一个应用，通过编制频数分布表、计算均值、方差、标准差、进行正太分布的拟合度检验等过程，得出了一些结论。

【关键词】：

数理统计,　频数分布　,标准差　,拟合度检验

一　引言

　　数理统计学是从本世纪初开始发展起来的一门学科，它是以概率论的理论为基础，根据观察得到的大量数据进行整理、分析并对所研究的随机现象的概率特征做出合理的估计和判断的数学分支。

虽然数理统计学是一门比较年轻的学科，但随着概率论的产生和应用正在逐渐兴起，现已广泛的应用于工农业生产及科学技术之中，成为一门理论严谨、应用广泛、发展迅速、方法独特的学科。

在教育领域，考试是各级各类学校评定学业成绩，进行教育学评估，取得教学反馈信息的主要手段。

因此，在世界上的许多国家都很重视对考试工作和考试方法的研究。

当学生考试结束后，为了了解学生对所学知识与技能的掌握情况，发现教与学中存在的不足，使考试真正为素质教育服务，我们需要对考试成绩进行一次较为深入细致的定量分析。

数理统计对教育及教学工作进行评估、定量分析起到重要的作用。

本文以定西市第一中学高一

（1）

（2）两个班数学期末考试成绩为例，综合运用多种统计方法对成绩（数据）进行分析研究，做出决断，并分析产生的原因。

二　数理统计在生活中的应用　

统计是从数据中获得信息的科学。

统计与实际生活息息相关，在生活实践中有着广泛的应用。

从古代的结绳记事到现在的市场调查都是统计的应用。

我国设有国家统计局、地方统计局进行各种统计工作，从数据中获取信息指导我们国家的发展。

统计局主要负责的工作有人民的生活、价格指数、就业人员和职工工资、人口、国内贸易、对外经济贸易、农业、工业等统计项目。

我们所得到的城乡居民家庭人均收入及恩格尔系数、农产品生产价格指数、各地区居民消费指数及商品零售价格指数、各地区按行业分城镇私营企业和个体就业人数、人民币汇率（年平均价）等等，这些数据我们都可以从统计局的统计结果中获得。

国家就是通过统计局人员对各类数据进行统计获取信息，根据信息制定下一年度的工作发展方向。

除了国家需要统计，我们的日常生活也需要统计。

买股票，需要对历史的数据进行分析总结得出变化趋势；理财，需要对储蓄和消费进行合理的规划；天气预报，需要到对卫星收集来的数据进行分析得出未来变换趋势；农作物的收成，可以对历史年份产量统计求平均数获得一般收成量近似求出；选择旅游路线，需要对多种路线的路况、历程进行分析获得最优路线••••••可以说统计在运用到我们生活的各个方面。

作为学生，我们身边也有很多易于发现的事运用了统计。

我们的总成绩、平均成绩、学籍管理、经常参加的发放调查问卷、那个食堂的饭菜好吃、哪里买东西便宜等等都运用到了统计，统计可以说无处不在。

1.平均数与标准差的互补

我们知道：

平均数反映的是现象的集中趋势，是现象的一致性结果。

而标准差是现象的离中趋势，反映了现象差异性的变化。

这两个指标从不同角度描述了现实中事物的对立和统一的情形。

例如：

银行办理业务事项。

银行提高服务质量的重点是顾客的等待时间，在工作人员（或窗口）一定的条件下提高银行的服务质量，实际上就是如何缩短顾客的等待时间（平均数）和减少顾客等待时间的差异（标准差）。

在缩短顾客的等待时间上，要求银行的工作人员有熟练的业务技巧，使处理的每一笔业务尽可能地在短时间内完成，从而提高整个银行的服务质量。

在这一点上，银行改变了原来由顾客填写单据而造成的不必要的时间上的浪费，也对减少顾客服务时间、减少顾客重复排队和减少顾客或因不了解业务而产主的尴尬，在减少顾客等待的时间差异上来说，就需要银行在管理手段上引入更好的机制。

现在银行已经采用了叫号的方法，每个顾客来到银行后，先在窗口上领一个号，然后，坐在有电视、茶水、报纸旁的座位上等待服务。

这种将顾客分别站在每一个窗口等待办理业务改变为顾客都在同一等待线上等待办理业务的做法，从实现和心理两个方面，减少了顾客等待时间上的差异。

首先，以前顾客来到银行后，看到每个窗口都排了很长的队，不知道选择哪个队，可能会离开或者等下次再来。

也许留下来的顾客很可能因不知道前面顾客的业务量大小而选择了需要等待时间较长的队，造成排在其他队比他后来的顾客先行办理完业务。

这时，本来就因排队而厌烦的顾客又因“错”排了队，而使等待的时问相对较长，所形成的心理上的抱怨就会形成对银行服务质量不好。

工作效率不高的印象。

其次，采用叫号的方法，实际上等于每位顾客在不同的窗口都排了队，使大家的平均等待时间一致，从而减少了顾客被服务的差异，让每位顾客都在平等的地位上接受平等的服务。

事实上，顾客在等待的时间上并没有改变。

只是大家等待的时间不是凭运气而是更平等，即减少了差异。

同样，对于工厂生产的产品在市场的占有率上，除了提高产品的质量（平均数）使产品的平均水平上一个档次外，还应该在花样品种方面（标准差）下功夫，不断增加自己产品的品种，同时也使自己的产品与其他同行业产品有一定差异。

可以说，形成差异产品是产品具有市场占有率的关键所在。

2　在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。

利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。

下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用。

例1　某人有一笔资金,可投入三个项目:

房产X、地产Y和商业Z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益（万元）,见表1:

请问:

该投资者如何投资好?

解:

我们先考察数学期望,

E（X）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4.0,

E（Y）=6×0.2+4×0.7+（-1）×0.1=3.9,

E（Z）=10×0.2+2×0.7+（-2）×0.1=3.2

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风

险,我们再来考虑它们的方差:

D（X）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（Y）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（Z）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。

3在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展,火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。

利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。

下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。

例2　已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N（μ,σ2）,今随机抽取8次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。

解　利用矩估计法或最大似然估计法可知:

μ,的矩估计量分别为:

从而根据表2中的数据可计算出:

（1000×2+2000×1+3000×4+5000×1）=2625

[（1000-2625）2×2+（2000-2625）2+（3000-2625）2×4+（5000-2625）2]

=1101562.5

v

从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55元。

4　在求解最大经济利润问题中的应用

如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

例3某公司经销某种原料,根据历史资料:

这种原料的市场需求量X（单位:

吨）服从（300,500）上的均匀分布,每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?

分析:

此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。

解:

设公司组织该货源a吨,则显然应该有300≤a≤500,又记Y为在a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即Y=g（X）,由题设条

件知:

当X≥a时,则此a吨货源全部售出,共获利1.5a;X

从而得

上述计算表明E（Y）是a的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,当a=450吨时,能够使得期望的利润达到最大。

5　在经济预测中的应用

在实际经营中,许多量之间存在某种密切联系,根据数理统计原理,可以根据往年资料或市场信息,通过对社会经济现象之间客观存在的因果关系及其变化趋势进行线性回归分析预测,从而得出未来的数量状况。

下面以一元线性回归分析为例探讨一下线性回归分析在经济预测中的应用。

例4　合金的强度y（×107Pa）与合金中碳的含量x（%）有关,为了生产强度满足用户需要的合金,在冶炼时要控制碳的含量。

现调查收集了12组数据,见表3,试建立适当的线性回归模型并进行检验。

如果在冶炼过程中通过化验得知了碳的含量为0.16,根据模型预测这炉合金的强度。

解　第一步,建立线性回归模型

已知一元线性回归模型^y=a+bx,据公式及表中的数据:

a=28.53,b=130.60,从而所求的回归模型为^y=28.53+130.6x。

第二步,检验线性关系的显著性现在用t检验法,经计算得t=13.2872,取显著性水平α=0.05,则（10）=2.2281,由于132.2872>2.2281,因此在