江苏省七市届高三数学第三次调研考试试题Word格式.docx
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14.在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°
，AB＝2，AD＝1.若·
＋·
＝·
，则CB＋CD的最小值为________．
二、解答题：
本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a（sinA－sinB）＝（c－b）（sinB＋sinC）．
（1）求角C的值；
（2）若a＝4b，求sinB的值．
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP＝BC，点E，F分别是PC，AD的中点．求证：
（1）BE⊥CD；
（2）EF∥平面PAB.
（本小题满分14分）
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，），圆O：
x2＋y2＝经过点M（0，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N.若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．
18.（本小题满分16分）
南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：
分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.
（1）若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；
（2）当风筝面AEA′F的面积为m2时，求点A′到AB距离的最大值．
19.（本小题满分16分）
已知数列{an}满足（nan－1－2）an＝（2an－1）an－1（n≥2），bn＝－n（n∈N*）．
（1）若a1＝3，求证：
数列{bn}是等比数列；
（2）若存在k∈N*，使得，，成等差数列．
①求数列{an}的通项公式；
②求证：
lnn＋an＞ln（n＋1）－an＋1.
20.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝（a≠0），e是自然对数的底数．
（1）当a＞0时，求f（x）的单调增区间；
（2）若对任意的x≥，f（x）≥2eb－1（b∈R），求的最大值；
（3）若f（x）的极大值为－2，求不等式f（x）＋ex＜0的解集.
2019届高三模拟考试试卷
数学附加题
（满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A.（选修42：
矩阵与变换）
已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝的逆矩阵A－1＝.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线y＝2x＋1，求曲线C的方程．
B.（选修44：
坐标系与参数方程）
在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为（4，），（2，），曲线C的方程为ρ＝r（r>
0）．
（1）求直线AB的直角坐标方程；
（2）若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．
C.（选修45：
不等式选讲）
已知a∈R，若关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，求a的取值范围．
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22.现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：
每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；
观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．
表1
文章学习积分
1
2
3
4
5
概率
表2
视频学习积分
6
（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；
（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．
（1）求2P2－Q2的值；
（2）化简nPn－Qn.
2019届高三模拟考试试卷（南通、泰州、徐州等苏北七市联考）
数学参考答案及评分标准
1.{－1，2} 2.－3 3.－1 4. 5. 6.（－2，0）∪（2，＋∞） 7.14 8.2 9. 10.－
11. 12. 13.－ 14.
15.解：
（1）在△ABC中，因为a（sinA－sinB）＝（c－b）（sinB＋sinC），
由正弦定理＝＝，
所以a（a－b）＝（b＋c）（c－b），（3分）
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得cosC＝.（5分）
因为0<
C<
π，所以C＝.（7分）
（2）（解法1）因为a＝4b及a2＋b2－c2＝ab，
得c2＝16b2＋b2－4b2＝13b2，即c＝b.（10分）
由正弦定理＝，得＝，所以sinB＝.（14分）
（解法2）由正弦定理＝，得sinA＝4sinB.
由A＋B＋C＝π，得sin（B＋C）＝4sinB.
因为C＝，所以sinB＋cosB＝4sinB，即7sinB＝cosB．（11分）
因为sin2B＋cos2B＝1，解得sin2B＝.
在△ABC中，因为sinB>
0，所以sinB＝.（14分）
16.证明：
（1）在△PBC中，因为BP＝BC，点E是PC的中点，所以BE⊥PC.（2分）
因为平面BPC⊥平面DPC，平面BPC∩平面DPC＝PC，BE?
平面BPC，
所以BE⊥平面PCD.（5分）
因为CD平面DPC，所以BE⊥CD.（7分）
（2）如图，取PB的中点H，连结EH，AH.
在△PBC中，因为点E是PC的中点，
所以HE∥BC，HE＝BC.（9分）
又底面ABCD是平行四边形，点F是AD的中点，
所以AF∥BC，AF＝BC.
所以HE∥AF，HE＝AF，
所以四边形AFEH是平行四边形，
所以EF∥HA.（12分）
因为EF平面PAB，HA平面PAB，所以EF∥平面PAB.（14分）
17.解：
（1）因为椭圆C的上顶点为A（0，），所以b＝.
又圆O：
x2＋y2＝a2经过点M（0，1），所以a＝2.（2分）
所以椭圆C的方程为＋＝1.（4分）
（2）若直线l1的斜率为0，则PQ＝，MN＝2，
所以△PQN的面积为，不合题意，所以直线l1的斜率不为0.（5分）
设直线l1的方程为y＝kx＋1，
由消y，得（3＋4k2）x2＋8kx－8＝0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＝，x2＝，
所以PQ＝＝＝.（8分）
由题可知，直线l2的方程为y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0，
所以MN＝2＝.（11分）
所以△PQN的面积S＝PQ·
MN＝×
·
＝3，
解得k＝±
，即直线l1的斜率为±
.（14分）
18.解：
（1）（解法1）建立如图所示的直角坐标系，
则B（2，0），D（0，），
直线BD的方程为3x＋4y－6＝0.（2分）
设F（0，b）（b>
0），
因为点F到AB与BD的距离相等，
所以b＝，解得b＝或b＝－6（舍去）．（4分）
所以△ABF的面积为×
2×
＝m2，
所以四边形ABA′F的面积为m2.
答：
风筝面ABA′F的面积为m2.（6分）
（解法2）设∠ABF＝θ，则∠ABA′＝2θ.
在直角三角形ABD中，tan2θ＝＝，（2分）
所以＝，解得tanθ＝或tanθ＝－3（舍去）．
所以AF＝ABtanθ＝.（4分）
＝m2，所以四边形ABA′F的面积为m2.
（2）（解法1）建立如图所示的直角坐标系．
设AE＝a，AF＝b，A′（x0，y0），
则直线EF的方程为bx＋ay－ab＝0.
因为点A，A′关于直线EF对称，
所以
解得y0＝.（10分）
因为四边形AEA′F的面积为，所以ab＝，所以y0＝＝.
a≤2，0<
b≤，所以≤a≤2.（12分）
设f（a）＝a＋，≤a≤2，则f′（a）＝1－＝.
令f′（a）＝0，得a＝或a＝－（舍去）．
列表如下：
a
[，）
（，2]
f′（a）
－
＋
f（a）
单调递减
极小值
单调递增
当a＝时，f（a）取得极小值，即最小值，
所以y0的最大值为，此时点A′在CD上，a＝，b＝1.
点A′到AB距离的最大值为m．（16分）
（解法2）设AE＝a，∠AEF＝θ，则AF＝atanθ.
因为四边形AEA′F的面积为，所以AE·
AF＝，
即a2tanθ＝，所以tanθ＝.
过点A′作AB的垂线A′T，垂足为T，
则A′T＝A′E·
sin2θ＝AE·
sin2θ＝asin2θ（10分）
＝a·
＝.
AE≤2，0<
AF≤，所以≤a≤2.（12分）
（下同解法1）
19.
（1）证明：
由（nan－1－2）an＝（2an－1）an－1，得＝＋2－n，
得－n＝2，即bn＝2bn－1.
因为a1＝3，所以b1＝－1＝－≠0，所以＝2（n≥2）
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