安徽省安庆市怀宁县第二中学学年高三上学期第四次月考数学理试题Word格式文档下载.docx
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11．已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（）
12．已知函数是定义在上的奇函数，若，为的导函数，对，总有，则的解集为（）
二、填空题
13．若，若，则_____．
14．已知实数x，y满足的最小值为___________．
15．已知在数列的前项之和为，若，则_______．
16．四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．
三、解答题
17．已知角终边上,且，求：
的值．
18．已知单调的等比数列的前项和为，若，且是，的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且前项的和为，求.
19．设函数．
Ⅰ求的单调增区间；
Ⅱ已知的内角分别为A，B，C，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最大值．
20．如图，三棱柱的侧面是矩形，侧面⊥侧面，且，，是的中点．
（1）求证：
∥平面；
（2）求证：
⊥平面．
21．“水资源与永恒发展”是2021年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：
万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：
平方米）成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：
万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：
平方米）之间的函数关系是C（x）＝（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
（1）试解释C（0）的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
（2）当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
22．设函数
（Ⅰ）若在处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为，求实数的值；
（Ⅱ）若是的极小值点，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】
,,.故选B.
2．C
【解析】
在等差数列中，
则.
故选C.
3．A
由三视图，可知该几何体是如图所示的四面体，其中底面和侧面是底边为的等腰直角三角形，侧面均为以为底边的等腰三角形，取的中点，连接，则，则该四面体的表面积为.故选A.
4．D
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
a=21.1＞2，0＜b=30.6=＜=2，c=＜0，
∴a＞b＞c．
故选：
D．
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．A
.
故选A.
点睛：
三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.
首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；
其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.
6．D
为假，，为真.则为真，故选D.
7．B
由条件得，
将上式两边分别平方，得，
即，
解得或（舍去），
∴．选B．
8．C
扇形绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的，则，绕旋转一周所得几何体为圆锥，体积为，阴影部分旋转所得几何体的体积为，故选C.
9．A
由，得到函数是奇函数，再代入特殊值计算和的值，即可得到答案.
由题意，，
，
所以函数是奇函数，关于原点对称，排除选项B；
当时，，故排除选项D；
当时，，故排除选项C；
所以本题正确答案为A.
A
本题主要考查函数图像的性质，注意代特殊值排除法的应用，属于基础题.
10．D
先计算出是第几个奇数，然后计算出在第几行，根据行数是奇数行或者偶数行，确定的值，从而求得的值.
数列是首项为，公差为的等差数列，记其通项公式为，令，解得.宝塔形数自上而下，每行的项数是，即首项是，公差是的等差数列，记其通项公式为，其前项和，，所以是第行的数模糊.第行是奇数行，是从右边开始向左边递增，也即从，即的第项，递增到第项，也即从右往左第项.故从左往右是第项，所以.所以.
D.
本小题主要考查新定义数列找规律，考查等差数列通项公式与前项和公式有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.
11．C
由题意可知，，将代数式展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于的不等式，解出即可.
若，则，从而无最小值，不合乎题意；
若，则，.
①当时，无最小值，不合乎题意；
②当时，，则不恒成立；
③当时，，
当且仅当时，等号成立.
所以，，解得，因此，实数的最小值为.
C.
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
12．B
首先根据函数图像的平移得到的图像与函数的图像关系，再根据研究单调性，进而求出结果．
因为函数是定义在上的奇函数，
所以函数关于原点对称，
又
所以是由向左平移1个单位，向上平移2个单位而得到的，
所以是关于点，
所以有．
设
则
因为对，总有，
所以，即在R上单调递增，
所以当时，
即当时，，所以答案选B．
本题考查了函数的图像平移规律、奇函数的性质、利用导数研究函数的单调性以及抽象函数不等式的求解，解决关键是将函数不等式转化为单调函数值的比较问题，此类问题常常要构造辅助函数，有一定的技巧和灵活性，要注意积累．
13．-1
答案为：
-1.
14．5
由题意可得可行域为如图所示（含边界），，
则在点处取得最小值.
联立，解得：
代入得最小值5.
5.
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：
一、准确无误地作出可行域；
二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；
三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
15．1078
.
1078.
16．
如图所示，四棱锥中，可得：
平面平面平面，过作于，则平面，故，在中，，设，则有，,又，则，四棱锥的体积取值范围为.
17．或.
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，可得sinθ和cosθ的值，从而求得sinθ+cosθ的值．
由于，故，解得.
当时,
当
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
18．
（1）；
（2）.
试题分析：
（1）或（舍），利用通项公式与求和公式即可得出；
（2）根据第一问得到，利用裂项求和方法即可得出，进而求得，，再求和即可.
解析：
（1）依题设，得或（舍）；
所以
（2）由已知得；
所以，
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；
数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；
数列求和常用法有：
错位相减，裂项求和，分组求和等。
19．（Ⅰ），；
（Ⅱ）6.
Ⅰ利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间；
Ⅱ由题意可得的内切圆的半径为1，为等腰三角形，底边上的高为3，求得腰AB的值，可得的最大值．
Ⅰ函数
令，求得，可得函数的增区间为，．
Ⅱ中，，，，
且能够盖住的最大圆面积为，即的内切圆O的面积为，
的内切圆半径为1，则，要使最大，为等腰三角形，
此等腰三角形的底边上的高为3，腰，
，故要求的最大值为6．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦定理、余弦定理以及基本不等数的应用，属于中档题．
20．
（1）见解析；
（2）见解析
（1）连结交于，取中点，连结，．通过证明四边形是平行四边形，来证得，从而证得平面.
（2）利用余弦定理和勾股定理，计算证明证得；
利用面面垂直的性质定理，证得；
从而证得平面.
证明：
（1）连结交于，取中点，连结，．
∵四边形是矩形，∴是的中点，
∴，，
∵四边形是平行四边形，是的中点，
∴四边形是平行四边形，∴，即．
又∵，，
∴∥平面．
（2）∵，是中点，∴，，
∵，∴．
∴，∴，
∵侧面⊥侧面，侧面∩侧面=，，⊂平面，
∴⊥平面，∵⊂平面，
∴⊥，又∵⊂平面，⊂平面，，
∴⊥平面．
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，还考查了面面垂直的性质定理的应用，属于中档题.
21．
（1）；
（2）当x为15平方米时，y取得最小值7万元.
（1）C（0）的实际意义是不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，依题意，C（0）==4，可求得k，从而得到y关于x的函数关系式；
（2）利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值．
（1）C（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，
因为C（0）＝＝4，所以k＝1000，
所以y＝0.2x＋×
4＝0.2x＋（x≥0）．
（2）y＝0.2（x＋5）＋－1≥2－1＝7，
当x＋5＝20，即x＝15时，ymin＝7，
所以当x为15平方米时，y取得最小值7万元．
本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于中档题．
22．（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
（Ⅰ）由题意可知：
，即可求得的值；
（Ⅱ）函数求得，讨论，和时，导数的正负，进而得函数的单调性，即可得出是的极小值点时的取值范围.
试题解析：
（Ⅰ）解：
；
由题意可知：
易得切点坐标为，则有；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
（1）当时，，；
是的极小值点，∴适合题意；
（2）当时，或，且；
（2）当时，或
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