四川专版高考数学二轮复习 专题七 导数及其应用练习 理Word文档格式.docx

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4．函数f（x）＝x2－lnx的最小值为（　　）

A.B．1

C．－2D．3

5．曲线y＝lnx－1在x＝1处的切线方程为____________．

提升训练强能力

6．若曲线y＝ax2－lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝（　　）

A．1B.

C．0D．－1

7．函数f（x）＝xcosx的导函数f′（x）在区间[－π，π]上的图像大致是（　　）

　　　　　A　　　　　　　　B

　　　　　C　　　　　　　　D

图71

8．定义域为R的函数f（x），满足f（0）＝1，f′（x）＜f（x）＋1，则不等式f（x）＋1＜2ex的解集为（　　）

A．{x∈R|x>

1}

B．{x∈R|0＜x＜1}

C．{x∈R|x＜0}

D．{x∈R|x＞0}

9．已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex，若f（x）在区间[－1，1]上是减函数，则a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜

B.＜a＜

C．a≥

D．0＜a＜

10．方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫作函数f（x）的“新驻点”．如果函数g（x）＝x，h（x）＝ln（x＋1），φ（x）＝cosx的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（　　）

A．α<

β<

γ

B．α<

γ<

β

C．γ<

α<

β

D．β<

γ

11．设1＜x＜2，则，，的大小关系是（　　）

A.＜＜

B.＜＜

C.＜＜

D.＜＜

12．函数f（x）＝2lnx＋x2在点x＝1处的切线方程是________．

13．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，若f

（1）＝0，f′

（1）＝0，但x＝1不是函数f（x）的极值点，则abc的值为________．

14．已知函数f（x）＝lnx－ax2＋（a－2）x.

（1）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；

（2）求函数y＝f（x）在[a2，a]上的最大值．

15．已知函数f（x）＝ex－ax－1（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间．

（2）函数F（x）＝f（x）－xlnx在定义域内是否存在零点？

若存在，请指出有几个零点；

若不存在，请说明理由．

（3）若g（x）＝ln（ex－1）－lnx，当x∈（0，＋∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取值范围．

16．已知函数f（x）＝ex－x2e|x|.

（1）若f（x）在[0，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）证明：

当a≥1时，不等式f（x）≤x＋1对x∈R恒成立；

（3）对于在（0，1）中的任一个常数a，试探究是否存在x0>

0，使得f（x0）>

x0＋1成立？

如果存在，请求出符合条件的一个x0；

如果不存在，请说明理由．

专题限时集训（七）B

[导数及其应用]

10分钟＋35分钟）

1．已知函数f（x）＝x－lnx－1.

（1）求曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程；

（2）若x∈（0，＋∞）时，f（x）≥ax－2恒成立，求实数a的取值范围．

2．已知函数f（x）＝x2－3x＋alnx（a＞0）．

（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）设函数f（x）图像上任意一点处的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．

3．设函数f（x）＝p－2lnx，g（x）＝（p>

1，e是自然对数的底数）．

（1）若对任意x∈[2，e]，不等式f（x）>

g（x）恒成立，求p的取值范围；

（2）若对任意x1∈[2，e]，总存在x2∈[2，e]，使不等式f（x1）>

g（x2）成立，求p的取值范围．

4．已知函数f（x）＝.

（1）若函数f（x）在区间内有极值，求实数a的取值范围；

（2）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围；

（3）求证：

[（n＋1）！

]2＞（n＋1）en－2＋.（n∈N*，e为自然对数的底数）

5．已知函数f（x）＝（2－a）（x－1）－2lnx，g（x）＝ex－x＋1.（a为常数，e为自然对数的底数）

（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间上无零点，求a的最小值；

（3）若对任意给定的x0∈（0，1]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i＝1，2），使得f（xi）＝g（x0）成立，求a的取值范围．

专题限时集训（七）A

【基础演练】

1．B　[解析]f′（x）＝2x＋2f′

（1），令x＝1，得f′

（1）＝2＋2f′

（1），即f′

（1）＝－2，∴f′（x）＝2x－4，∴f′（0）＝－4.

2．A　[解析]∵y′＝，∴k＝＝＝tanα，又0≤α＜π，故α＝.

3．D　[解析]设切点为P0（a，b），f′（x）＝3x2＋1，则切线的斜率k＝f′（a）＝3a2＋1＝4，所以a＝±

1.当a＝－1时，b＝－4；

当a＝1时，b＝0.所以P0点的坐标为（1，0）或（－1，－4）．

4．A　[解析]令f′（x）＝x－＝＝0，得x＝1.∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0.∴函数f（x）在x＝1处取得最小值，且最小值为f

（1）＝－ln1＝.

5．x－y－2＝0　[解析]易知切点的坐标为（1，－1），又y′＝，∴切线的斜率为1，∴所求切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.

【提升训练】

6．B　[解析]y′＝2ax－，由题意可知，当x＝1时，y′|x＝1＝2a－1＝0，得a＝.

7．A　[解析]f′（x）＝cosx－xsinx，则该导函数为偶函数，且f′（0）＝1，f′（π）＝－1，易知A选项符合题意．

8．D　[解析]构造函数g（x）＝⇒g′（x）＝，

由已知f′（x）＜f（x）＋1⇒g′（x）＜0，故g（x）在R上为减函数，而g（0）＝2，不等式f（x）＋1＜2ex化为g（x）＜g（0）⇒x＞0，故选D.

9．C　[解析]因为f（x）＝（x2－2ax）ex，所以f′（x）＝（2x－2a）ex＋（x2－2ax）ex＝[x2＋（2－2a）x－2a]ex.因为f（x）在区间[－1，1]上是减函数，所以f′（x）＝[x2＋（2－2a）x－2a]ex≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，即x2＋（2－2a）x－2a≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，所以解得a≥.又当a＝时，x2＋（2－2a）x－2a不恒为0，所以a的取值范围是.

10．D　[解析]g′（x）＝1，令g（x）＝g′（x），则α＝1.h′（x）＝，令h（x）＝h′（x），结合图像（图略）可知，β<

1.φ′（x）＝－sinx，令φ（x）＝φ′（x），∴γ＝>

2.∴β<

γ.

11．A　[解析]令f（x）＝x－lnx（1＜x＜2），则f′（x）＝1－＝＞0，所以函数y＝f（x）（1＜x＜2）为增函数，∴f（x）＞f

（1）＝1＞0，

∴x＞lnx＞0⇒0＜＜1，∴＜.又－＝＝>

0，∴＜＜，选A.

12．4x－y－3＝0　[解析]易知切点的坐标为（1，1），又f′（x）＝＋2x，∴切线的斜率为f′

（1）＝4，故所求切线的方程为y－1＝4（x－1），即4x－y－3＝0.

13．9　[解析]由f

（1）＝0，得1＋a＋b＋c＝0①，由f′（x）＝3x2＋2ax＋b，f′

（1）＝3＋2a＋b＝0②，而x＝1不是函数的极值点，所以Δ＝（－2a）2－4×

3×

b＝4a2－12b＝0③，综合①②③解得a＝－3，b＝3，c＝－1，所以abc＝9.

14．解：

（1）∵f（x）＝lnx－ax2＋（a－2）x，∴函数的定义域为（0，＋∞）．

∴f′（x）＝－2ax＋（a－2）＝＝.

∵f（x）在x＝1处取得极值，即f′

（1）＝－（2－1）（a＋1）＝0，∴a＝－1.

当a＝－1时，在内f′（x）＜0，在（1，＋∞）内f′（x）＞0，

∴x＝1是函数y＝f（x）的极小值点．∴a＝－1.

（2）∵a2＜a，∴0＜a＜1.f′（x）＝－2ax＋（a－2）＝＝－，

∵x∈（0，＋∞），∴ax＋1＞0，∴f（x）在上递增；

在上递减，

①当0＜a≤时，f（x）在[a2，a]上单调递增，∴f（x）max＝f（a）＝lna－a3＋a2－2a；

②当即＜a＜时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，

∴f（x）max＝f＝－ln2－＋＝－1－ln2；

③当≤a2，即≤a＜1时，f（x）在[a2，a]上单调递减，

∴f（x）max＝f（a2）＝2lna－a5＋a3－2a2.

15．解：

（1）由f（x）＝ex－ax－1，得f′（x）＝ex－a.

当a≤0时，对∀x∈R，有f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上单调递增；

当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞lna；

由f′（x）＜0，得x＜lna，

此时函数f（x）的单调增区间为（lna，＋∞），单调减区间为（－∞，lna）．

综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（－∞，＋∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，＋∞），单调减区间为（－∞，lna）．

（2）函数F（x）＝f（x）－xlnx的定义域为（0，＋∞），由F（x）＝0，得a＝－lnx（x＞0），

令h（x）＝－lnx（x＞0），则h′（x）＝，

由于x＞0，ex－1＞0，可知当x＞1时，h′（x）＞0；

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，

故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故h（x）≥h

（1）＝e－1.

（随着x＞0的增长，y＝ex－1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x的增长速度，而y＝lnx的增长速度则会越来越慢．则当x＞0且x无限接近于0时，h（x）趋向于正无穷大．）

故当a＞e－1时，函数F（x）有两个不同的零点；

当a＝e－1时，函数F（x）有且仅有一个零点；

当a＜e－1时，函数F（x）没有零点.

（3）由

（1）知当a＝1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）＝0，即ex－1＞x，

当x＞0时，ex－1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0，先用分析法证明：

∀x＞0，g（x）＜x.

要证对∀x＞0，g（x）＜x，只需证对∀x＞0，＜ex，即证对∀x＞0，xex－ex＋1＞0，

构造函数H（x）＝xex－ex＋1（x＞0），则H′（x）＝xex＞0，

故函数H（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以H（x）＞H（0）＝0，则对∀x＞0，xex－ex＋1＞0成立．

当a≤1时，由

（1）知，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f（g（x））＜f（x）在（0，＋∞）上恒成立；

当a＞1时，由

（1）知，函数f（x）在（lna，＋∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，

故当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，所以f（g（x））＞f（x），则不满足题意．

所以满足题意的a的取值范围是（－∞，1]．

16．解：

（1）∵x∈[0，＋∞），∴f（x）＝ex，

∴f′（x）＝ex.

由题意，f′（x）≥0在[0