高考第一轮复习数学32等差数列Word文档下载推荐.docx
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1.(2003年全国,文5)等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n是
A.48B.49C.50D.51
解析:
由已知解出公差d=,再由通项公式得+(n-1)=33,解得n=50.
答案:
C
2.(2003年全国,8)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于
A.1B.C.D.
设4个根分别为x1、x2、x3、x4,则x1+x2=2,x3+x4=2,由等差数列的性质,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq.设x1为第一项,x2必为第4项,可得数列为,,,,∴m=,n=.∴|m-n|=.
3.(2004年春季上海,7)在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则an=___________________.
将点代入直线方程得-=,由定义知{}是以为首项,以为公差的等差数列,故=n,即an=3n2.
3n2
4.(2003年春季上海,12)设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为___________________.
倒序相加法,观察函数解析式的特点,得到f(x)+f(1-x)=,即f(-5)+f(6)=,f(-4)+f(5)=,f(-3)+f(4)=,f(-2)+f(3)=,f(-1)+f
(2)=,f(0)+f
(1)=,故所求的值为3.
3
●典例剖析
【例1】数列{an}的前n项和为Sn=npan(n∈N*)且a1≠a2,
(1)求常数p的值;
(2)证明:
数列{an}是等差数列.
剖析:
(1)注意讨论p的所有可能值.
(2)运用公式an=求an.
解:
(1)当n=1时,a1=pa1,若p=1时,a1+a2=2pa2=2a2,
∴a1=a2,与已知矛盾,故p≠1.则a1=0.
当n=2时,a1+a2=2pa2,∴(2p-1)a2=0.
∵a1≠a2,故p=.
(2)由已知Sn=nan,a1=0.
n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1.
∴=.则=,…,=.
∴=n-1.∴an=(n-1)a2,an-an-1=a2.
故{an}是以a2为公差,以a1为首项的等差数列.
评述:
本题为“Snan”的问题,体现了运动变化的思想.
【例2】已知{an}为等差数列,前10项的和S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.
方程的思想,将题目条件运用前n项和公式,表示成关于首项a1和公差d的两个方程.
设{an}的首项为a1,公差为d,则
解得
∴S110=110a1+×
110×
109d=-110.
解决等差(比)数列的问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法,即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程;
②巧妙运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).一般地,运用数列的性质,可化繁为简.
思考讨论
此题能按等差数列的关于和的性质来求吗?
【例3】已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.
由Sn=12n-n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数(n∈N*),可知{an}为等差数列,求出an,然后再判断哪些项为正,哪些项为负,最后求出Tn.
当n=1时,a1=S1=12-12=11;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n.
∵n=1时适合上式,
∴{an}的通项公式为an=13-2n.
由an=13-2n≥0,得n≤,
即当1≤n≤6(n∈N*)时,an>0;
当n≥7时,an<0.
(1)当1≤n≤6(n∈N*)时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2.
(2)当n≥7(n∈N*)时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)
=-(a1+a2+…+an)+2(a1+…+a6)
=-Sn+2S6=n2-12n+72.
∴Tn=
此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号,然后分类讨论转化成{an}的求和问题.
深化拓展
若此题的Sn=n2-12n,那又该怎么求Tn呢?
Tn=
●闯关训练
夯实基础
1.等差数列{an}中,a10<0,a11>0且a11>|a10|,Sn为其前n项和,则
A.S1,S2,…,S10都小于0,S11,S12,…都大于0
B.S1,S2,…,S19都小于0,S20,S21,…都大于0
C.S1,S2,…,S5都小于0,S6,S7,…都大于0
D.S1,S2,…,S20都小于0,S21,S22,…都大于0
由题意知
可得d>0,a1<0.
又a11>|a10|=-a10,
∴a10+a11>0.
由等差数列的性质知a1+a20=a10+a11>0,
∴S20=10(a1+a20)>0.
B
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值是一个确定的常数,则数列{Sn}中也为常数的项是
A.S7B.S8C.S13D.S15
设a2+a4+a15=p(常数),
∴3a1+18d=p,即a7=p.
∴S13==13a7=p.
3.在等差数列{an}中,公差为,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a2+a4+a6+…+a100=_________.
由等差数列的定义知a2+a4+a6+…+a100=a1+a3+a5+…+a99+50d=60+25=85.
85
4.将正偶数按下表排成5列:
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
……
28
26
那么2004应该在第______________行第______________列.
解法一:
由2004是正偶数列中第1002项,每一行四项,故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排,故2004为第251行第3列.
解法二:
观察第三列中的各数,可发现从上依次组成一个首项为4,公差为8的等差数列,可算得2004为此数列的第251项.
2513
5.(2004年全国,文17)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求通项{an};
(2)若Sn=242,求n.
(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程组a1+9d=30,①
a1+19d=50.②
由①②解得a1=12,d=2,故an=2n+10.
(2)由Sn=na1+d及Sn=242,得方程12n+×
2=242,解得n=11或n=-22(舍).
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一个最大,并说明理由.
(1)a3=12,∴a1=12-2d,解得a12=12+9d,a13=12+10d.由S12>0,S13<0,即>0,且<0,解之得-<d<-3.
(2)由an=12+(n-3)d>0,由-<d<-3,易知a7<0,a6>0,故S6最大.
培养能力
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·
Sn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:
{}是等差数列;
(2)求an的表达式.
(1)证明:
∵-an=2SnSn-1,
∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2),Sn≠0(n=1,2,3…).
∴-=2.
又==2,∴{}是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)解:
由
(1),=2+(n-1)·
2=2n,∴Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-〔或n≥2时,an=-2SnSn-1=-〕;
当n=1时,S1=a1=.
∴an=
8.有点难度哟!
(理)设实数a≠0,函数f(x)=a(x2+1)-(2x+)有最小值-1.
(1)求a的值;
(2)设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=,证明:
数列{bn}是等差数列.
(1)解:
∵f(x)=a(x-)2+a-,由已知知f()=a-=-1,且a>0,解得a=1,a=-2(舍去).
由
(1)得f(x)=x2-2x,
∴Sn=n2-2n,a1=S1=-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,a1满足上式即an=2n-3.
∵an+1-an=2(n+1)-3-2n+3=2,
∴数列{an}是首项为-1,公差为2的等差数列.
∴a2+a4+…+a2n=
==n(2n-1),
即bn==2n-1.
∴bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2.
又b2==1,
∴{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(文)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲、乙两家电商场均有销售,甲商场用如下的方法促销:
买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;
乙商场一律都按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少?
设单位需购买影碟机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列,设该数列为{an},则
an=780+(n-1)×
(-20)=800-20n.
由an≥440解不等式800-2n≥440,得n≤18.
当购买台数小于18时,每台售价为800-20n元,在台数大于等于18台时每台售价为440元.
到乙商场购买每台约售价为800×
75%=600元.
价差(800-20n)n-600n=20n(10-n).
当n<10时,600n<(800-20n)·
n;
当n=10时,600n=(800-20n)·
当10<n≤18时,(800-20n)<600n;
当n>18时,440n<600n.
答:
当购买少于10台时到乙商场花费较少;
当购买10台时到两商场购买花费相同;
当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
探究创新
9.有点难度哟!
已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n为正偶数,且a1,a2,a3,…,an组成等差数列,又f
(1)=n2,f(-1)=n.试比较f()与3的大小.
∵f
(1)=a1+a2+…+an=n2.
依题设,有=n2,故a1+an=