高考第一轮复习数学32等差数列Word文档下载推荐.docx

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1.（2003年全国，文5）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是

A.48B.49C.50D.51

解析：

由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n－1）=33，解得n=50.

答案：

C

2.（2003年全国，8）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于

A.1B.C.D.

设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=.

3.（2004年春季上海，7）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－=0上，则an=___________________.

将点代入直线方程得－=，由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.

3n2

4.（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为___________________.

倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1－x）=，即f（－5）+f（6）=，f（－4）+f（5）=，f（－3）+f（4）=，f（－2）+f（3）=，f（－1）+f

（2）=，f（0）+f

（1）=，故所求的值为3.

3

●典例剖析

【例1】数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，

（1）求常数p的值；

（2）证明：

数列{an}是等差数列.

剖析：

（1）注意讨论p的所有可能值.

（2）运用公式an=求an.

解：

（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，

∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0.

当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.

∵a1≠a2，故p=.

（2）由已知Sn=nan，a1=0.

n≥2时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1.

∴=.则=，…，=.

∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2.

故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.

评述：

本题为“Snan”的问题，体现了运动变化的思想.

【例2】已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.

方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.

设{an}的首项为a1，公差为d，则

解得

∴S110=110a1+×

110×

109d=－110.

解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；

②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.

思考讨论

此题能按等差数列的关于和的性质来求吗?

【例3】已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.

由Sn=12n－n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（n∈N*），可知{an}为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.

当n=1时，a1=S1=12－12=11；

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=12n－n2－［12（n－1）－（n－1）2］=13－2n.

∵n=1时适合上式，

∴{an}的通项公式为an=13－2n.

由an=13－2n≥0，得n≤，

即当1≤n≤6（n∈N*）时，an＞0；

当n≥7时，an＜0.

（1）当1≤n≤6（n∈N*）时，

Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n－n2.

（2）当n≥7（n∈N*）时，

Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=（a1+a2+…+a6）－（a7+a8+…+an）

=－（a1+a2+…+an）+2（a1+…+a6）

=－Sn+2S6=n2－12n+72.

∴Tn=

此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{an}的求和问题.

深化拓展

若此题的Sn=n2－12n，那又该怎么求Tn呢？

Tn=

●闯关训练

夯实基础

1.等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，Sn为其前n项和，则

A.S1，S2，…，S10都小于0，S11，S12，…都大于0

B.S1，S2，…，S19都小于0，S20，S21，…都大于0

C.S1，S2，…，S5都小于0，S6，S7，…都大于0

D.S1，S2，…，S20都小于0，S21，S22，…都大于0

由题意知

可得d＞0，a1＜0.

又a11＞|a10|=－a10，

∴a10+a11＞0.

由等差数列的性质知a1+a20=a10+a11＞0，

∴S20=10（a1+a20）＞0.

B

2.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是

A.S7B.S8C.S13D.S15

设a2+a4+a15=p（常数），

∴3a1+18d=p，即a7=p.

∴S13==13a7=p.

3.在等差数列{an}中，公差为，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=_________.

由等差数列的定义知a2+a4+a6+…+a100=a1+a3+a5+…+a99+50d=60+25=85.

85

4.将正偶数按下表排成5列：

第1列

第2列

第3列

第4列

第5列

第1行

2

4

6

8

第2行

16

14

12

10

第3行

18

20

22

24

……

28

26

那么2004应该在第______________行第______________列.

解法一：

由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.

解法二：

观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.

2513

5.（2004年全国，文17）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50.

（1）求通项{an}；

（2）若Sn=242，求n.

（1）由an=a1+（n－1）d，a10=30，a20=50，

得方程组a1+9d=30，①

a1+19d=50.②

由①②解得a1=12，d=2，故an=2n+10.

（2）由Sn=na1+d及Sn=242，得方程12n+×

2=242，解得n=11或n=－22（舍）.

6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由.

（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且＜0，解之得－＜d＜－3.

（2）由an=12+（n－3）d＞0，由－＜d＜－3，易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.

培养能力

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·

Sn－1=0（n≥2），a1=.

（1）求证：

{}是等差数列；

（2）求an的表达式.

（1）证明：

∵－an=2SnSn－1，

∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3…）.

∴－=2.

又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列.

（2）解：

由

（1），=2+（n－1）·

2=2n，∴Sn=.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－=－〔或n≥2时，an=－2SnSn－1=－〕；

当n=1时，S1=a1=.

∴an=

8.有点难度哟！

（理）设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1）－（2x+）有最小值－1.

（1）求a的值；

（2）设数列{an}的前n项和Sn=f（n），令bn=，证明:

数列{bn}是等差数列.

（1）解：

∵f（x）=a（x－）2+a－，由已知知f（）=a－=－1，且a＞0，解得a=1，a=－2（舍去）.

由

（1）得f（x）=x2－2x，

∴Sn=n2－2n，a1=S1=－1.

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2－2n－（n－1）2+2（n－1）=2n－3，a1满足上式即an=2n－3.

∵an+1－an=2（n+1）－3－2n+3=2，

∴数列{an}是首项为－1，公差为2的等差数列.

∴a2+a4+…+a2n=

==n（2n－1），

即bn==2n－1.

∴bn+1－bn=2（n+1）－1－2n+1=2.

又b2==1，

∴{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.

（文）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲商场用如下的方法促销：

买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；

乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？

设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数列为{an}，则

an=780+（n－1）×

（－20）=800－20n.

由an≥440解不等式800－2n≥440，得n≤18.

当购买台数小于18时，每台售价为800－20n元，在台数大于等于18台时每台售价为440元.

到乙商场购买每台约售价为800×

75%=600元.

价差（800－20n）n－600n=20n（10－n）.

当n＜10时，600n＜（800－20n）·

n；

当n=10时，600n=（800－20n）·

当10＜n≤18时，（800－20n）＜600n；

当n＞18时，440n＜600n.

答:

当购买少于10台时到乙商场花费较少；

当购买10台时到两商场购买花费相同；

当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.

探究创新

9.有点难度哟！

已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列，又f

（1）=n2，f（－1）=n.试比较f（）与3的大小.

∵f

（1）=a1+a2+…+an=n2.

依题设，有=n2，故a1+an=