二次函数压轴题Word文档格式.docx

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解答：

解：

（1）∵▱ABOC绕点O顺时针旋转90°

，点A的坐标为（0，3），

∴点A′的坐标为（3，0）．

∴抛物线过点A、C、A′．

设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx（a≠0），可得

{a-b+c=0c=39a+3b+c=0，

解得{a=-1b=2c=3．

故此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）∵∠OAB=90°

，AB=OC=1，AO=3．

∴OB=10．

可证△C1OD∽△BOA

△C1OD的周长与△BOA的周长比=OC1：

OB=1：

10

△BOA的周长=4+10

△C1OD的周长=210+55．

（3）连接A′A

设AA′的函数表达式为y=kx+b，可得

{0+b=33k+b=0

解得{k=-1b=3，

AA′的函数解析式是y=-x+3．

设M（x，-x2+2x+3）

S△AMA'

=12×

3×

[-x2+2x+3-（-x+3）]=-32x2+92x=-32（x-32）2+278，

∵x=32时△AMA'

的面积最大S△AMA'

=278，

∴M（32，154）．

2.（2011•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），△AOB的面积是3．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；

若不存在，请说明理由；

（4）在

（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：

3？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题；

三角形的面积；

相似三角形的判定与性质．

专题：

综合题；

压轴题．

分析：

（1）由三角形S=12OB•3=3可得点B的坐标；

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），点A在其上，求得a；

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，由三角形相似，得到C点坐标．（4）设p（x，y），直线AB为y=kx+b，解得k、b，由S四BPOD=S△BPO+S△BOD，S△AOD=S△AOB-S△BOD，两面积正比可知，求出x．

（1）由题意得12OB•3=3

∴B（-2，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，3），得a=33，

∴y=33x2+233x，

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线

的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴

与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，

∵△BCE∽△BAF，∴BEBF=CEAF，

∴CE=BE•AFBF=33，∴C（-1，33）．

（4）存在、如图，设p（x，y），直线AB为y=kx+b，

则{k+b=3-2k+b=0解得{k=33b=233，

∴直线AB为y=33x+233，

S四BPOD=S△BPO+S△BOD=12|OB||YP|+12|OB||YD|=|YP|+|YD|

=-33x2-33x+233，

∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=3-12×

2×

|33x+233|=-33x+33，

∴S△AODS四BPOD=-33x+33-33x2-33x+233=23，

∴x1=-12，x2=1（舍去），

∴p（-12，-34），

又∵S△BOD=33x+233，

∴S△BODS四BPOD=33x+233-33x2-33x+233=23，

∴x1=-12，x2=-2．

P（-2，0），不符合题意．

∴存在，点P坐标是（-12，-34）．

3.（2010•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在题

（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？

若存在，求点F的坐标；

若不存在，请说明理由．

二次函数综合题．

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；

（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°

，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：

①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；

②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°

，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；

（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有

（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；

假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：

P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．

（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），

∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，

将C（0，3）代入上式，得：

3=a（0-2）2-1，a=1；

∴y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；

（2）分两种情况：

①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；

令y=0，得x2-4x+3=0，解得x=1，x=3；

∵点A在点B的右边，

∴B（1，0），A（3，0）；

∴P1（1，0）；

②当点A为△APD2的直角顶点时；

∵OA=OC，∠AOC=90°

，

∴∠OAD2=45°

；

当∠D2AP2=90°

时，∠OAP2=45°

∴AO平分∠D2AP2；

又∵P2D2∥y轴，

∴P2D2⊥AO，

∴P2、D2关于x轴对称；

设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．

将A（3，0），C（0，3）代入上式得：

{3k+b=0b=3，

解得{k=-1b=3；

∴y=-x+3；

设D2（x，-x+3），P2（x，x2-4x+3），

则有：

（-x+3）+（x2-4x+3）=0，

即x2-5x+6=0；

解得x=2，x=3（舍去）；

∴当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×

2+3=-1；

∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点）．

∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；

（3）由

（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；

当点P的坐标为P2（2，-1）（即顶点Q）时，

平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；

∵P（2，-1），

∴可设F（x，1）；

∴x2-4x+3=1，

解得x=2-2，x=2+2；

∴符合条件的F点有两个，

即F1（2-2，1），F2（2+2，1）．

4.（2010•重庆）已知：

如图

（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°

．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图

（2），现有∠MCN=60°

，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°

＜旋转角＜60°

），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？

若没有变化，请求出其周长；

若发生变化，请说明理由．

全等三角形的判定与性质；

等腰三角形的判定；

等边三角形的性质；

直角三角形的性质．

（1）由于点Q从点O运动到点C需要233秒，点P从点A→O→B需要43秒，所以分两种情况讨论：

①0＜t＜23；

②23≤t＜233．针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围；

（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上两种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果；

（3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4．

（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图）

∵OC=AC，∠ACO=120°

∴∠AOC=∠OAC=30°

∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1．

在Rt△ODC中，OC=ODcos30°

=1COS∠30°

=233（1分）

（i）当0＜t＜23时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．

过点Q作QE⊥OA于点E．（如图）

在Rt△OEQ中，

∵∠AOC=30°

∴QE=12OQ=t2，

∴S△OPQ=12OP•EQ=12（2-3t）•t2=-34t2+12t，

即S=-34t2+12t；

（3分）

（ii）当23＜t≤233时（如图）

OQ=t，OP=3t-2．

∴∠BOA=60°

，∠AOC=30°

，∴∠POQ=90°

∴S△OPQ=12OQ•OP=12t•（3t-2）=32t2-t，

即S=32t2-t；

故当0＜t＜23时，S=-34t2+12t，当23≤t＜233时，S=32t2-t（5分）

（2）D（33，1）或（233，0）或（23，0）或（43，233）（9分）

（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：

延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图）

又∵∠MOC=∠FAC=90°

，OC=AC，

∴△MOC≌△FAC，

∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分）

∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA

=∠OCA-∠MCN

=60°

∴∠FCN=∠MCN．

又∵MC=CF，CN=CN，

∴△MCN≌△FCN，

∴MN=NF．（11分）

∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+B