离散时间系统状态稳定性及判别法Word格式.docx

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（2）渐近稳定：

0,使当||X。

X』时,有

lkimx（k）x』0；

（3）全局渐近稳定：

任意X。

Rn,都有lim||x（k）Xe||k

（4）不稳定：

o0,无论多小正数，总有匕0,使

x（kjx』0

对定常系统，渐近稳定全局一致渐近稳定

3•稳定性判别

对定常系统x（k1）Ax（k）

若xe0稳定（渐近稳定），则其它xe也稳定（渐近稳定）；

若xe0渐近稳定，则xe必为一致全局渐近稳定;

简单介绍xe0稳定性条件

设（5.17）的解

x（k）Akx0,k0,1,2,L

则渐近稳定

pm||x（k）0||阿||人乂||0（x°

0）,

kk

kk1k

limAk0limTJkT10limJk0

kkk

A的所有特征值的模全小于1

A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内

其中J为A的若当形.

Ji

如Jk

且再如

1

k

J1kll

Jr

ck

k1

C2k2

Ck

C1k1

则T,使

例设A有互不相同特征值

AkT2OT-1T

由此可得

nL2■^^^1o

limAk0.

定理5.12系统为（5.17）的稳定性判定如下：

（i）Xe0稳定A所有特征值的模全小于1或等于1,

且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的；

（ii）Xe0渐近稳定A的所有特征值模全小于1.

对一般非线性系统

x（k1）F（x（k））,k0,1,2,L（5.18）

在Xe0（设F（0）0）的稳定性判定方法有

定理5.13对（5.18）,若x（k）的标量函数V（（x（k））,满足

（i）V（x（k））为正定；

（ii）V（x（k））V（x（k1））V（x（k））负定；

（iii）当||x（k）||时，有V（（x（k））.

则xe0全局渐近稳定的.若无（iii）,则Xe0是渐近稳定的；

再若（ii）中V（x（k））为半负定，则Xe0仅是稳定的.定理用于定常系统（5.17）,即得

定理5.14线性定常离散（5.17）的xe0为渐近稳定

Q>

0,李雅普诺夫方程

AtPAP

有唯一正定解P.证只证充分性,即已有对Q>

0,

令V（xQx：

PXk,则有

V（xk）V（Xki）V（Xk）x；

（AtPAP）Xk

显见V（XQ为负定,故Xe0渐近稳定.

例5.6设

x（k

1）

a0

x（k）

0b

试分析稳定的条件.解选Q=1,则有At

PA

PI,即

a0P11P12

a

0pi1pi2

10

0bp21p22

bp21p22

01

整理且比较，得

Pn（1a2）1,P12（1ab）0,P22CIb2）1,要P为正定，需满足

|a|1,|b|1,

（5.19）

解出

1小

p11

.2,p120,

1a

P22“.2,

1b

Xe0一致全局渐近稳定.

实质上：

|a|1,|b|1所有特征值的模全小于1.