高中数学全套讲义 选修11 抛物线初步基础 教师版.docx
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高中数学全套讲义选修11抛物线初步基础教师版
考点一：
抛物线定义及标准方程
1．平面内与一个定点
和一条定直线
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
定点
叫做抛物线的焦点，定直线
叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程：
，焦点在
轴正半轴上，坐标是
，准线方程是
，其中
是焦点到准线的距离．
题型一：
抛物线定义
1．（2017秋•埇桥区期末）到直线
与到定点
的距离相等的点的轨迹是
A．椭圆B．圆C．抛物线D．直线
【分析】确定
的轨迹是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线，即可得出结论．
【解答】解：
动点
到定点
的距离与到定直线
的距离相等，
所以
的轨迹是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线，
故选：
．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础
2．（2018秋•商丘期末）
是抛物线
的一条焦点弦，
，则
中点
的横坐标是
A．2B．
C．
D．
【分析】先设出
，
的坐标，进而根据抛物线的定义可知
求得
的值，进而求得
的中点的横坐标．
【解答】解：
设
，
，
，
根据抛物线的定义可知
，
，
故选：
．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义．在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．
3．（2016秋•运城期末）正方体
中，
为侧面
所在平面上的一个动点，且
到平面
的距离与
到直线
距离相等，则动点
的轨迹为
A．椭圆B．双曲线C．圆D．抛物线
【分析】根据正方体
，可得
等于
到
的距离，根据抛物线的定义，可得结论．
【解答】解：
平面
，
表示
到直线
距离相等
平面
平面
，
到平面
的距离等于
到
的距离
到平面
的距离与
到直线
距离相等，
等于
到
的距离
根据抛物线的定义，可知动点
的轨迹为抛物线
故选：
．
【点评】本题重点考查正方体的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是得出
等于
到
的距离．
题型二：
抛物线标准方程
1．（2018秋•宜春期末）对抛物线
，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
【分析】根据抛物线的标准方程及基本概念，结合题中的抛物线方程加以计算，即可到答案．
【解答】解：
抛物线的标准方程为
，
，
，解得
，
因此抛物线的焦点为
，准线为
，可得该抛物线的开口向上．
故选：
．
【点评】本题给出抛物线的方程，求它的开口方向和焦点坐标．着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识，属于基础题．
2．（2019春•玉山县校级月考）抛物线的准线为
，则抛物线的方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知可设抛物线方程为
，并求得
，则答案可求．
【解答】解：
抛物线的准线为
，
可知抛物线是开口向右的抛物线，设方程为
．
则
，
．
抛物线方程为
．
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，是基础题．
3．（2019春•寿光市校级月考）已知抛物线
上的点
到焦点的距离是5，则抛物线的方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】利用抛物线的定义可得
，从而可求
的值及抛物线方程
【解答】解：
由题意知，
，
，
抛物线方程为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于对基本概念的考查，属于基础试题．
考点二：
抛物线的几何性质
1.范围：
抛物线在
轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸．
2.对称性：
以
轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3.顶点：
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．
4.离心率：
抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用
表示，
．
一、抛物线方程的四种形式如下
标准方程
图形
对称轴
焦点坐标
准线方程
轴
轴
二、
抛物线的重要结论
标准方程：
；
焦点：
，通径
；准线：
；
焦半径：
，
过焦点弦长
题型三：
抛物线几何性质
1．（2019•河北模拟）已知抛物线
的焦点
在直线
上，则点
到
的准线的距离为
A．2B．4C．8D．16
【分析】根据抛物线的标准方程，将焦点
代入直线
方程算出
，即可得到结果；
【解答】解：
抛物线
的焦点为
，可得
，
因此点
到
的准线的距离为：
8；
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
2．（2019春•沙坪坝区校级月考）已知点
，
在抛物线
上，且点
到
的准线的距离与点
到
轴的距离相等，则
的值为
A．4B．3C．2D．1
【分析】由已知知点
到原点距离与到焦点距离相等，
，即可得出结论．
【解答】解：
由已知知点
到原点距离与到焦点距离相等，
，
由抛物线的定义可得点
到
的准线的距离即为
到
的焦点
的距离，
由题意可得
，
则
轴，可得
，
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的简单性质与定义，考查数学转化思想方法，是基础题．
3．（2019春•罗湖区校级月考）已知抛物线
的焦点为
，
为坐标原点，若抛物线
上存在点
，使得
，则
的值为
A．8B．6C．4D．2
【分析】方法一：
由
，得
在线段
的中垂线上，且到抛物线准线的距离为3，求解
即可；
方法二：
设则有
，代入方程转化求解即可．
【解答】解：
方法一：
由
，得
在线段
的中垂线上，
且到抛物线准线的距离为3，则有
．
方法二：
设则有
，则有
．
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
课后综合巩固练习
1．（2017秋•东胜区校级月考）下列抛物线中，焦点到准线距离最小的是
A．
B．
C．
D．
【分析】焦点到准线距离即为
，分别求得各个选项中的
，即可得到所求结论．
【解答】解：
焦点到准线距离即为
，
中的
；
中的
；
即为
中的
；
中的
．
可得焦点到准线距离最小的为
，
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
2．（2016秋•延安期末）过点
的抛物线的标准方程是
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【分析】由题意设抛物线方程，代入点
，即可求得抛物线的标准方程．
【解答】解：
由题意设抛物线方程为
或
抛物线过点
或
或
或
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力
3．（2019•6月份模拟）已知点
在抛物线
上，且
为第一象限的点，过
作
轴的垂线，垂足为
，
为该抛物线的焦点，
，则直线
的斜率为
A．
B．
C．
D．
【分析】可以已知条件，设出
的坐标，通过抛物线的方程，求出直线的斜率即可．
【解答】解：
设
，
，因为
，
所以
，解得
，代入抛物线方程得
，
所以
，
，
，
从而直线
的斜率为
．
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力．
4．（2019春•民乐县校级月考）设抛物线
上一点
到
轴的距离是2，则点
到该抛物线焦点的距离是
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意，求出抛物线的标准方程，分析可得点
到准线的距离为4，由抛物线的定义分析可得答案．
【解答】解：
根据题意，抛物线的标准方程为
，则抛物线的准线方程为：
．
又因为点
到
轴的距离是2，则点
到准线的距离为4，
根据抛物线的定义可得：
点
到该抛物线焦点的距离是4；
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，利用抛物线的定义是解题的关键．
5．（2019春•信州区校级月考）已知角
的终边经过点
，若点
在抛物线
的准线上，则
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出准线方程，即可求出
的值，再根据三角函数的定义即可求出．
【解答】解：
抛物线
的准线方程为
，
角
的终边经过点
，
，
，
，
，
，
故选：
．
【点评】本题考查了抛物线的性质和三角函数的定义，属于基础题．
6．（2019春•南康区校级月考）抛物线
的焦点为
，
为坐标原点，
为抛物线上一点，且
，则
的面积为
A．
B．
C．
D．6
【分析】根据
为抛物线上一点，且
，可确定
的坐标，利用
的面积求解即可．
【解答】解：
由题意，
，准线方程为
，
，
．
的横坐标为
，
的纵坐标为
，
的面积为：
．
故选：
．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定
的坐标．
7．（2018秋•新化县校级月考）抛物线
上纵坐标为4的点
到其焦点
的距离为5，则点
到原点的距离为 ．
【分析】由题意结合抛物线焦半径公式求得
，得到抛物线方程，进一步求得
的坐标，则答案可求．
【解答】解：
由题意，
，得
．
则抛物线方程为
，
得到
，
则
．
故答案为：
．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的应用，训练了抛物线焦半径的求法，是基础题．
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