中考数学第二部分题型研究题型四反比例函数与一次函数综合题试题.docx

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中考数学第二部分题型研究题型四反比例函数与一次函数综合题试题

2019-2020年中考数学第二部分题型研究题型四反比例函数与一次函数综合题试题

针对演练

1.如图，一次函数y＝kx＋1（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象有公共点A（1，2），直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B，C，连接AC.

（1）求k和m的值；

（2）求点B的坐标；

（3）求△ABC的面积．

第1题图

2.已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB最小？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

3.如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.

（1）求一次函数的解析式；

（2）对于反比例函数，当y＜－1时，写出x的取值范围；

（3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝

2S△OCA？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

4.（xx巴中10分）已知，如图，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，

k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求两函数图象的另一个交点坐标；

（3）直接写出不等式：

kx＋b≤的解集．

第4题图

5.如图，点A（－2，n），B（1，－2）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

（3）若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．

第5题图

6.如图，直线y1＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝（x>0）的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.

（1）求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；

（2）请直接写出y1>y2时，x的取值范围；

（3）反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？

如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

第6题图

7.如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y＝（x＜0）交于点A（－1，n）．

（1）求直线与双曲线的解析式；

（2）连接OA，求∠OAB的正弦值；

（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？

若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

第7题图

8.（xx金华8分）如图，直线y＝x－与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝（k＞0）图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.

（1）求点A的坐标；

（2）若AE＝AC.

①求k的值；

②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？

并说明理由．

第8题图

9.如图，已知双曲线y＝经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.

（1）求k的值；

（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

第9题图

10.如图，点B为双曲线y＝（x＞0）上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x轴于点D，双曲线y＝与直线y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.

（1）求k的值；

（2）点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；

（3）双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第10题图

【答案】

1．解：

（1）∵点A（1，2）是一次函数y＝kx＋1与反比例函数y＝的公共点，

∴k＋1＝2，＝2，∴k＝1，m＝2；

（2）∵直线l⊥x轴于点N（3，0），且与一次函数的图象交于点B，

∴点B的横坐标为3，

将x＝3代入y＝x＋1，得y＝3＋1＝4，

∴点B的坐标为（3，4）；

（3）如解图，过点A作AD⊥直线l，垂足为点D，

由题意得，点C的横坐标为3，

∵点C在反比例函数图象上，

∴y＝＝，∴C点坐标为（3，），

∴BC＝BN－CN＝4－＝，

又∵AD＝3－1＝2，

∴S△ABC＝BC·AD＝××2＝.

第1题解图

2．解：

（1）设A点的坐标为（x，y），则OP＝x，PA＝y，

∵△OAP的面积为1，

∴xy＝1，

∴xy＝2，即k＝2，

∴反比例函数的解析式为；

（2）存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，

∵点B的横坐标为2，

∴点B的纵坐标为y＝＝1，

即点B的坐标为（2,1）.

又∵两个函数图象在第一象限交于A点，

∴，

解得x1＝1，x2＝－1（舍去）．

∴y＝2，

∴点A的坐标为（1，2），

∴点A关于x轴的对称点A′（1，－2），

设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′（1，－2），B（2，1）得，

∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，

令y＝0，得x＝，

∴直线y＝3x－5与x轴的交点为（，0），

即点M的坐标为（，0）．

第2题解图

3．解：

（1）∵反比例函数y＝图象上的点A、B的横坐标

分别为1、－2，

∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（－2，－1），

∵点A（1，2）、B（－2，－1）在一次函数y＝kx＋b的图象上，

∴

∴一次函数的解析式为y＝x＋1；

（2）由图象知，对于反比例函数，当y＜－1时，x的取值范围是－2＜x＜0；

（3）存在．

对于y＝x＋1，当y＝0时，x＝－1，当x＝0时，y＝1，

∴点D的坐标为（－1，0），点C的坐标为（0，1），

设点P（m，n），

∵S△ODP＝2S△OCA，

∴×1×（－n）＝2××1×1，

∴n＝－2，

∵点P（m，－2）在反比例函数图象上，

∴－2＝，

∴m＝－1，

∴点P的坐标为（－1，－2）．

4．解：

（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，

∴OA＝3，OD＝2.

∴A（3，0），B（0，6），D（－2，0）．

将点A（3，0）和B（0，6）代入y＝kx＋b得，

∴一次函数的解析式为y＝－2x＋6.……………………（3分）

将x＝－2代入y＝－2x＋6，得y＝－2×（－2）＋6＝10，

∴点C的坐标为（－2，10）．

将点C（－2，10）代入y＝，得

10＝，解得n＝－20，

∴反比例函数的解析式为；………………………（5分）

（2）将两个函数解析式组成方程组，得

解得x1＝－2，x2＝5.………………………………………（7分）

将x＝5代入

∴两函数图象的另一个交点坐标是（5，－4）；……………（8分）

（3）－2≤x＜0或x≥5.……………………………………（10分）

【解法提示】不等式kx＋b≤的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是－2≤x＜0或x≥5.

5．解：

（1）∵点A（－2，n），B（1，－2）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，

∴m＝－2，

∴反比例函数解析式为，

∴n＝1，

∴点A（－2，1），

将点A（－2，1），B（1，－2）代入y＝kx＋b，得

∴一次函数的解析式为y＝－x－1；

（2）结合图象知：

当－2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；

（3）如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′延长交x轴于点C，则点C即为所求，

∵A（－2，1），

∴A′（－2，－1），

设直线A′B的解析式为y＝mx＋n，

∴y＝－x－，

令y＝0，得x＝－5，

则C点坐标为（－5，0），

∴t的最大值为A′B＝＝.

第5题解图

6．解：

（1）∵一次函数y1＝x＋1的图象与x轴交于点A，与

y轴交于点C，

∴A（－4，0），C（0，1），

又∵AC＝BC，CO⊥AB，

∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，

∴点P的坐标为（4，2），

将点P（4，2）代入y2＝，得m＝8，

∴反比例函数的解析式为y2＝；

（2）x>4；

【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.

（3）存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，

∵四边形BCPD为菱形，

∴CE＝DE＝4，

∴CD＝8，

∴D点的坐标为（8，1），

将D（8，1）代入反比例函数，D点坐标满足函数关系式，

即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时

D点坐标为（8，1）．

第6题解图

7．解：

（1）∵直线y＝x＋b与x轴交于点C（4，0），

∴把点C（4，0）代入y＝x＋b，得b＝－4，

∴直线的解析式为y＝x－4，

∵直线也过A点，

∴把点A（－1，n）代入y＝x－4，得n＝－5，

∴A（－1，－5），

将A（－1，－5）代入y＝（x＜0），得m＝5，

∴双曲线的解析式为；

（2）如解图，过点O作OM⊥AC于点M，

∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，

∴令x＝0，得y＝－4，

∴点B（0，－4），∴OC＝OB＝4，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴在△OMB中，sin45°＝＝，∴OM＝2，

∵AO＝＝，

∴在△AOM中，sin∠OAB＝＝＝；

第7题解图

（3）存在．

如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，

∴AB＝＝，

∵OB＝OC＝4，

∴BC＝＝4，

又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠OBA＝∠BCD＝135°，

∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，

∴＝或＝，

即＝或＝，

∴CD＝2或CD＝16，

∵点C（4，0），

∴点D的坐标是（6，0）或（20，0）．

8．解：

（1）当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3.

∴点A的坐标为（3，0）；……………………………………（2分）

（2）①如解图，过点C作CF⊥x轴于点F.

设AE＝AC＝t,点E的坐标是（3，t）.

在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，

∴∠OAB＝30°.

在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，

∴CF＝t，AF＝AC·cos30°＝t，

∴点C的坐标是（3＋t，t）．

∵点C、E在y＝的图象上，

∴（3＋t）×t＝3t，

解得t1＝0（舍去），t2＝2，

∴k＝3t＝6；……………………………………………（5分）

②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：

由①知，点E的坐标为（3，2），

设点D的坐标是（x，x－），

∴x（x－）＝6，解得x1＝6（舍去），x2＝－3，

∴点D的坐标是（－3，－2），

∴点E与点D关于原点O成中心对称．…………………（8分）

第8题解图

9．解：

（1）∵双曲线y＝经过点D（6，1），

∴＝1，解得k＝6；

（2）设点C到BD的距离为h，

∵点D的坐标为（6，1），DB⊥